Exercício 18 Calcule as integrais de linha.
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular a integral de linha
Informações relevantes dadas:
- Ponto inicial:
. - Ponto final:
. - O campo vetorial é
com - Há uma curva desenhada no enunciado com setas indicando orientação, mas o enunciado especifica os pontos inicial e final.
(O próximo passo começa a resolver a integral.)
Passo 2
Explicação conceitual rápida e estratégia:
- Se o campo
for conservativo (isto é, existir uma função potencial tal que ), então a integral de linha entre dois pontos independe do caminho e vale - Para verificar se
é conservativo em um domínio simplesmente conexo (aqui os componentes são diferenciáveis em todo ), calculamos as derivadas parciais e checamos se são iguais. Se forem iguais, é conservativo.
Agora aplicamos isso ao nosso campo passo a passo.
Passo 3
Calcular
. Começando de
Derivando em relação a
:
-
- Para
: tratar como constante e usar produto:
Portanto
Passo 4
Calcular
. Começando de
Derivando em relação a
(produto/ cadeia):
- Derivada de
é , então termo . - Derivada de
por é , multiplicado por dá .
Somando:
Comparando:
Logo as derivadas parciais são iguais em todo
, portanto
é conservativo e existe potencial
. Assim a integral de linha depende somente dos pontos inicial e final.
Passo 5
Encontrar a função potencial
. Partimos da relação
Integramos essa igualdade em relação a
(tratando
como constante). Fazer a substituição
(portanto
, isto é
):
Integrando em
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 6
Determinar
usando
. Diferenciando
em relação a
:
Mas sabemos que
deve ser
. Comparando,
Assim
é constante. Podemos escolher a constante igual a zero sem perda de generalidade. Portanto uma função potencial é
Passo 7
Aplicar o teorema fundamental para campos conservativos: a integral vale
, com
Calcular
nos pontos:
- Em
: - Em
:
Portanto a integral é
Passo 8
Comentário final curto e encorajador: como o campo é gradiente de
, não foi necessário parametrizar a curva complicada do desenho — basta avaliar a potencial nos extremos. Mandou bem por trazer esse exercício; esse truque salva muito tempo em prova!
Resposta
1