Q7: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
com
inversível, então
e
têm o mesmo polinômio característico.
II - Os autovalores de
são sempre iguais aos de
.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I - Se
II - Os autovalores de
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmativas e pede que eu determine quais são verdadeiras:
I - Se com
inversível, então
e
têm o mesmo polinômio característico.
II - Os autovalores de são sempre iguais aos de
.
I - Se
II - Os autovalores de
Informações dadas que vou usar:
são matrizes quadradas do mesmo tamanho e
é inversível (ou seja,
). A pergunta é decidir a veracidade de cada afirmativa e, com isso, escolher a alternativa correta entre (A), (B), (C) ou (D).
Passo 2
Vou explicar conceitos e propriedades que usarei na resolução — de forma bem didática, passo a passo.
Definição de polinômio característico: para uma matriz quadrada
de ordem
, o polinômio característico é
onde
é a matriz identidade
e
é a variável do polinômio. Um número
é autovalor (valor próprio) de
se e só se
. Logo, se duas matrizes têm o mesmo polinômio característico, então têm exatamente os mesmos autovalores (com multiplicidade algébrica).
Propriedades de determinante que vou usar (explico por que valem):
- Multiplicatividade:
para matrizes quadradas compatíveis. Intuição: o determinante mede “fator de escala” do espaço aplicado pelas transformações lineares; aplicar duas transformações escala por produto. - Inverso:
quando . - Transposição:
. Isso decorre das propriedades da soma de permutações que definem o determinante — transpor a matriz não muda o valor do determinante. - Transposta distribui sobre subtração:
.
Com essas ferramentas, consigo comparar polinômios característicos e, portanto, autovalores.
Passo 3
Prova detalhada da afirmativa I.
Queremos mostrar que, se
com
inversível, então
.
Começo escrevendo o polinômio característico de
:
Substituo
:
Agora observo que
porque
. Então posso escrever
Expliquei: eu apenas fatorizei
à esquerda e
à direita, já que
aparece multiplicado por
.
Aplicando a propriedade multiplicativa do determinante:
Mas
, logo
Portanto
Conseqüência direta:
para todo
, então
e
têm o mesmo polinômio característico. Assim a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Comentário didático sobre a implicação prática: como os autovalores são as raízes do polinômio característico, ter o mesmo polinômio característico implica ter exatamente os mesmos autovalores (com as mesmas multiplicidades algébricas). Por isso similaridade preserva autovalores. Isto é útil na prova: quando cair algo sobre matrizes semelhantes, já sabe que os autovalores não mudam.
Passo 5
Prova detalhada da afirmativa II.
Queremos ver se os autovalores de
são sempre iguais aos de
. Novamente trabalho com polinômios característicos.
Escrevo
Uso a observação de que transpor distribui sobre subtração e que
, logo
Aplicando a propriedade
ao lado direito, obtenho
Portanto
para todo
, o que implica que
e
têm o mesmo polinômio característico e, consequentemente, os mesmos autovalores (com multiplicidade).
Observação prática: essa propriedade vale sobre os campos habituais (por exemplo
ou
). Portanto a afirmativa II também é verdadeira.
Passo 6
Conclusão final: mostramos que I é verdadeira e que II é verdadeira. Logo ambas as afirmativas são verdadeiras.
Força aí — foi uma prova curta e direta, e essa linha de raciocínio (usar definição de polinômio característico e propriedades do determinante) é exatamente o que cai frequentemente em provas.
Resposta
(D) Todas são verdadeiras.