Q7: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se A=P B P^{-1} com P inversível, então A e B têm o mesmo polinômio característico.
II - Os autovalores de A^{T} são sempre iguais aos de A.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmativas e pede que eu determine quais são verdadeiras:
I - Se \,A=PBP^{-1}\, com P inversível, então A e B têm o mesmo polinômio característico.
II - Os autovalores de \,A^{T}\, são sempre iguais aos de A.
Informações dadas que vou usar: \,A,P,B são matrizes quadradas do mesmo tamanho e P é inversível (ou seja, \det(P)\neq 0). A pergunta é decidir a veracidade de cada afirmativa e, com isso, escolher a alternativa correta entre (A), (B), (C) ou (D).

Passo 2

Vou explicar conceitos e propriedades que usarei na resolução — de forma bem didática, passo a passo.
Definição de polinômio característico: para uma matriz quadrada \,M de ordem n, o polinômio característico é
\chi_{M}(\lambda)=\det(M-\lambda I),
onde \,I é a matriz identidade n\times n e \lambda é a variável do polinômio. Um número \lambda_0 é autovalor (valor próprio) de M se e só se \chi_{M}(\lambda_0)=0. Logo, se duas matrizes têm o mesmo polinômio característico, então têm exatamente os mesmos autovalores (com multiplicidade algébrica).
Propriedades de determinante que vou usar (explico por que valem):
  • Multiplicatividade: \det(XY)=\det(X)\det(Y) para matrizes quadradas compatíveis. Intuição: o determinante mede “fator de escala” do espaço aplicado pelas transformações lineares; aplicar duas transformações escala por produto.
  • Inverso: \det(P^{-1})=1/\det(P) quando \det(P)\neq 0.
  • Transposição: \det(X^{T})=\det(X). Isso decorre das propriedades da soma de permutações que definem o determinante — transpor a matriz não muda o valor do determinante.
  • Transposta distribui sobre subtração: (X-\lambda I)^{T}=X^{T}-\lambda I.
Com essas ferramentas, consigo comparar polinômios característicos e, portanto, autovalores.

Passo 3

Prova detalhada da afirmativa I.
Queremos mostrar que, se \,A=PBP^{-1} com P inversível, então \chi_A(\lambda)=\chi_B(\lambda).
Começo escrevendo o polinômio característico de A:
\chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Substituo A=PBP^{-1}:
\chi_A(\lambda)=\det(PBP^{-1}-\lambda I).
Agora observo que \lambda I=\lambda PP^{-1} porque PP^{-1}=I. Então posso escrever
PBP^{-1}-\lambda I = PBP^{-1}-\lambda PP^{-1} = P\big(B-\lambda I\big)P^{-1}.
Expliquei: eu apenas fatorizei P à esquerda e P^{-1} à direita, já que \lambda I aparece multiplicado por PP^{-1}.
Aplicando a propriedade multiplicativa do determinante:
\det\big(P(B-\lambda I)P^{-1}\big)=\det(P)\det(B-\lambda I)\det(P^{-1}).
Mas \det(P)\det(P^{-1})=1, logo
\det\big(P(B-\lambda I)P^{-1}\big)=\det(B-\lambda I).
Portanto
\chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\det(B-\lambda I)=\chi_B(\lambda).
Conseqüência direta: \chi_A(\lambda)=\chi_B(\lambda) para todo \lambda, então A e B têm o mesmo polinômio característico. Assim a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Comentário didático sobre a implicação prática: como os autovalores são as raízes do polinômio característico, ter o mesmo polinômio característico implica ter exatamente os mesmos autovalores (com as mesmas multiplicidades algébricas). Por isso similaridade preserva autovalores. Isto é útil na prova: quando cair algo sobre matrizes semelhantes, já sabe que os autovalores não mudam.

Passo 5

Prova detalhada da afirmativa II.
Queremos ver se os autovalores de \,A^{T} são sempre iguais aos de A. Novamente trabalho com polinômios característicos.
Escrevo
\chi_{A^{T}}(\lambda)=\det(A^{T}-\lambda I).
Uso a observação de que transpor distribui sobre subtração e que I^{T}=I, logo
A^{T}-\lambda I = (A-\lambda I)^{T}.
Aplicando a propriedade \det(M^{T})=\det(M) ao lado direito, obtenho
\chi_{A^{T}}(\lambda)=\det\big((A-\lambda I)^{T}\big)=\det(A-\lambda I)=\chi_A(\lambda).
Portanto \chi_{A^{T}}(\lambda)=\chi_A(\lambda) para todo \lambda, o que implica que A^{T} e A têm o mesmo polinômio característico e, consequentemente, os mesmos autovalores (com multiplicidade).
Observação prática: essa propriedade vale sobre os campos habituais (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}). Portanto a afirmativa II também é verdadeira.

Passo 6

Conclusão final: mostramos que I é verdadeira e que II é verdadeira. Logo ambas as afirmativas são verdadeiras.
Força aí — foi uma prova curta e direta, e essa linha de raciocínio (usar definição de polinômio característico e propriedades do determinante) é exatamente o que cai frequentemente em provas.

Resposta

(D) Todas são verdadeiras.

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