Exercício 15. Considere os seguintes vetores de
.
Seja
o conjunto dos vetores de
que são ortogonais a
e a
.
(a) Determine uma base
para
.
(b) Determine uma base ortogonal
para
.
(c) Se
mostre que
é um vetor do subespaço
e determine coeficientes
e
tais que
.
(a) Determine uma base
(b) Determine uma base ortogonal
(c) Se
Passo 1
O enunciado dá dois vetores de
:
Define-se
como o conjunto dos vetores de
que são ortogonais a
e a
. O exercício pede três coisas:
(a) encontrar uma base de
;
(b) a partir daí obter uma base ortogonal de
;
(c) verificar que pertence a
e escrever
como combinação linear
, encontrando
e
.
(a) encontrar uma base
(b) a partir daí obter uma base ortogonal
(c) verificar que
As informações relevantes que temos são apenas
e
e a definição de
(ortogonal a ambos). Não há outras figuras ou dados ocultos.
Passo 2
Vamos escrever um vetor genérico
Isso gera o sistema linear (produto escalar = soma dos produtos componentes):
Explico rapidamente: o produto escalar
e
é
. Aqui queremos que ambos os produtos sejam zero.
Agora resolvemos o sistema por eliminação (uma maneira prática para achar a forma paramétrica do espaço solução). Escrevo as equações:
Elimino
da Eq. 2 fazendo
:
o que dá
Dividindo por
:
Substituo
na Eq. 1:
Tomando como parâmetros
e
, obtemos a forma paramétrica
Isto se pode reescrever separando os parâmetros:
Portanto dois vetores que geram
são
Passo 3
Vou justificar por que
é uma base de
.
- Primeiro, qualquer combinação linear de
e tem a forma acima, e essa forma é exatamente o conjunto de soluções do sistema, logo geram . - Segundo,
e são linearmente independentes: claramente um não é múltiplo escalar do outro (por exemplo, tem componente 3 na primeira entrada, tem -2; não existe com e simultaneamente ). Assim são independentes.
Portantoé uma base de . (Se preferir, pode verificar que ambos satisfazem e pela definição.)
Passo 4
Agora precisamos de uma base ortogonal
. Uma maneira sistemática é aplicar o processo de Gram–Schmidt aos vetores
. Vou explicar a ideia antes de calcular: Gram–Schmidt pega vetores linearmente independentes e constrói vetores ortogonais removendo de cada vetor a projeção sobre os anteriores. A projeção de um vetor
sobre
(com
) é
onde
é o produto escalar. Isso garante que
é ortogonal a
.
Tomamos
. Em seguida calculamos a projeção de
sobre
:
Logo
Subtraindo:
Faço as contas componentes a componente (mostrando tudo para você poder reproduzir na prova):
Convertendo os primeiros dois somandos para denominação comum:
Portanto
Como é mais agradável e igualmente válido tomar um múltiplo escalar (qualquer múltiplo não-zero preserva ortogonalidade), escolhemos multiplicar por
para eliminar frações. Defino
Verificação rápida (útil em prova):
. Então
e
são ortogonais. Como são combinações de
, permanecem em
e formam uma base ortogonal. Podemos então tomar
(Não precisamos normalizar; o enunciado pede apenas base ortogonal, não ortonormal.)
Passo 5
Agora mostramos que
pertence a
. Basta verificar as ortogonalidades com
e
(produto escalar zero):
Como ambos produtos são zero,
.
Passo 6
Para escrever
como combinação linear de vetores da base ortogonal
(usei
), uso a propriedade útil de bases ortogonais: os coeficientes são obtidos projetando
em cada vetor da base:
Calculo
e
:
Logo
Agora
e
:
Portanto
Conferência rápida multiplicando:
logo está correto.
Resposta
(a)
(b)
(c) e
com
e
.
(b)
(c)