Exercício 15. Considere os seguintes vetores de \mathbb{R}^{4}.
V_{1}=(1,-2,5,-2) \quad \text { e } \quad V_{2}=(3,-2,-1,2)
Seja W o conjunto dos vetores de \mathbb{R}^{4} que são ortogonais a V_{1} e a V_{2}.
(a) Determine uma base \left\{W_{1}, W_{2}\right\} para W.
(b) Determine uma base ortogonal \left\{U_{1}, U_{2}\right\} para W.
(c) Se U=(-21,-2,19,39) mostre que U é um vetor do subespaço W e determine coeficientes x_{1} e x_{2} tais que U=x_{1} U_{1}+x_{2} U_{2}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores de \mathbb{R}^{4}:
V_{1}=(1,-2,5,-2)\quad\text{e}\quad V_{2}=(3,-2,-1,2).
Define-se W como o conjunto dos vetores de \mathbb{R}^{4} que são ortogonais a V_{1} e a V_{2}. O exercício pede três coisas:
(a) encontrar uma base \{W_{1},W_{2}\} de W;
(b) a partir daí obter uma base ortogonal \{U_{1},U_{2}\} de W;
(c) verificar que U=(-21,-2,19,39) pertence a W e escrever U como combinação linear U=x_{1}U_{1}+x_{2}U_{2}, encontrando x_{1} e x_{2}.
As informações relevantes que temos são apenas V_{1} e V_{2} e a definição de W (ortogonal a ambos). Não há outras figuras ou dados ocultos.

Passo 2

Vamos escrever um vetor genérico X=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in\mathbb{R}^{4}\) e impor as condições de ortogonalidade: \[V_{1}\cdot X=0\quad\text{e}\quad V_{2}\cdot X=0.
Isso gera o sistema linear (produto escalar = soma dos produtos componentes):
\begin{cases} 1\cdot x_{1}-2\cdot x_{2}+5\cdot x_{3}-2\cdot x_{4}=0,\\[4pt] 3\cdot x_{1}-2\cdot x_{2}-1\cdot x_{3}+2\cdot x_{4}=0. \end{cases}
Explico rapidamente: o produto escalar A\cdot B\] para \(A=(a_{1},\dots,a_{n}) e B=(b_{1},\dots,b_{n}) é \sum_{i} a_{i}b_{i}. Aqui queremos que ambos os produtos sejam zero.
Agora resolvemos o sistema por eliminação (uma maneira prática para achar a forma paramétrica do espaço solução). Escrevo as equações:
\begin{aligned} x_{1}-2x_{2}+5x_{3}-2x_{4}&=0\quad\text{(Eq. 1)},\\\\ 3x_{1}-2x_{2}-x_{3}+2x_{4}&=0\quad\text{(Eq. 2)}. \end{aligned}
Elimino x_{1} da Eq. 2 fazendo \text{Eq.2} - 3\cdot\text{Eq.1}:
3x_{1}-2x_{2}-x_{3}+2x_{4} - 3(x_{1}-2x_{2}+5x_{3}-2x_{4})=0,
o que dá
0\cdot x_{1} + 4x_{2} -16x_{3} +8x_{4} =0.
Dividindo por 4:
x_{2}-4x_{3}+2x_{4}=0\quad\Rightarrow\quad x_{2}=4x_{3}-2x_{4}.
Substituo x_{2} na Eq. 1:
x_{1}-2(4x_{3}-2x_{4})+5x_{3}-2x_{4}=0
x_{1}-8x_{3}+4x_{4}+5x_{3}-2x_{4}=0
x_{1}-3x_{3}+2x_{4}=0\quad\Rightarrow\quad x_{1}=3x_{3}-2x_{4}.
Tomando como parâmetros s=x_{3} e t=x_{4}, obtemos a forma paramétrica
X=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(3s-2t,\;4s-2t,\;s,\;t).
Isto se pode reescrever separando os parâmetros:
X = s\,(3,4,1,0) + t\,(-2,-2,0,1).
Portanto dois vetores que geram W são
W_{1}=(3,4,1,0),\qquad W_{2}=(-2,-2,0,1).]

Passo 3

Vou justificar por que \{W_{1},W_{2}\} é uma base de W.
  • Primeiro, qualquer combinação linear de W_{1} e W_{2} tem a forma acima, e essa forma é exatamente o conjunto de soluções do sistema, logo geram W.
  • Segundo, W_{1} e W_{2} são linearmente independentes: claramente um não é múltiplo escalar do outro (por exemplo, W_{1} tem componente 3 na primeira entrada, W_{2} tem -2; não existe \lambda com 3=\lambda(-2) e simultaneamente 1=\lambda\cdot 0). Assim são independentes.
    Portanto \{W_{1},W_{2}\} é uma base de W. (Se preferir, pode verificar que ambos satisfazem V_{1}\cdot W_{i}=0 e V_{2}\cdot W_{i}=0 pela definição.)

Passo 4

Agora precisamos de uma base ortogonal \{U_{1},U_{2}\}. Uma maneira sistemática é aplicar o processo de Gram–Schmidt aos vetores W_{1},W_{2}. Vou explicar a ideia antes de calcular: Gram–Schmidt pega vetores linearmente independentes e constrói vetores ortogonais removendo de cada vetor a projeção sobre os anteriores. A projeção de um vetor a sobre b (com b\neq 0) é
\text{proj}_{b}(a)=\frac{a\cdot b}{b\cdot b}\, b,
onde \cdot é o produto escalar. Isso garante que a-\text{proj}_{b}(a) é ortogonal a b.
Tomamos U_{1}=W_{1}=(3,4,1,0). Em seguida calculamos a projeção de W_{2} sobre U_{1}:
U_{1}\cdot U_{1}=3^{2}+4^{2}+1^{2}+0^{2}=9+16+1=26,
W_{2}\cdot U_{1}=(-2)\cdot 3 + (-2)\cdot 4 + 0\cdot 1 + 1\cdot 0 = -6-8+0+0=-14.
Logo
\text{proj}_{U_{1}}(W_{2})=\frac{-14}{26}\,U_{1}=\frac{-7}{13}\,U_{1}.
Subtraindo:
U_{2}=W_{2}-\text{proj}_{U_{1}}(W_{2})=W_{2}+\frac{7}{13}U_{1}.
Faço as contas componentes a componente (mostrando tudo para você poder reproduzir na prova):
\frac{7}{13}U_{1}=\left(\frac{21}{13},\frac{28}{13},\frac{7}{13},0\right),
W_{2}+\frac{7}{13}U_{1}=\left(-2+\frac{21}{13},\;-2+\frac{28}{13},\;0+\frac{7}{13},\;1+0\right).
Convertendo os primeiros dois somandos para denominação comum:
-2+\frac{21}{13}=-\frac{26}{13}+\frac{21}{13}=-\frac{5}{13},\qquad -2+\frac{28}{13}=-\frac{26}{13}+\frac{28}{13}=\frac{2}{13}.
Portanto
U_{2}=\left(-\frac{5}{13},\frac{2}{13},\frac{7}{13},1\right).
Como é mais agradável e igualmente válido tomar um múltiplo escalar (qualquer múltiplo não-zero preserva ortogonalidade), escolhemos multiplicar por 13 para eliminar frações. Defino
U_{2}'=13\,U_{2}=(-5,2,7,13).
Verificação rápida (útil em prova): U_{1}\cdot U_{2}'=3(-5)+4\cdot 2 +1\cdot 7 +0\cdot 13 = -15+8+7+0=0. Então U_{1} e U_{2}' são ortogonais. Como são combinações de W_{1},W_{2}, permanecem em W e formam uma base ortogonal. Podemos então tomar
U_{1}=(3,4,1,0),\qquad U_{2}=(-5,2,7,13).
(Não precisamos normalizar; o enunciado pede apenas base ortogonal, não ortonormal.)

Passo 5

Agora mostramos que U=(-21,-2,19,39) pertence a W. Basta verificar as ortogonalidades com V_{1} e V_{2} (produto escalar zero):
V_{1}\cdot U = 1\cdot(-21) + (-2)\cdot(-2) + 5\cdot 19 + (-2)\cdot 39 = -21 + 4 + 95 -78 = 0.
V_{2}\cdot U = 3\cdot(-21) + (-2)\cdot(-2) + (-1)\cdot 19 + 2\cdot 39 = -63 +4 -19 +78 = 0.
Como ambos produtos são zero, U\in W.

Passo 6

Para escrever U como combinação linear de vetores da base ortogonal \{U_{1},U_{2}\} (usei U_{2}=(-5,2,7,13)), uso a propriedade útil de bases ortogonais: os coeficientes são obtidos projetando U em cada vetor da base:
x_{1}=\frac{U\cdot U_{1}}{U_{1}\cdot U_{1}},\qquad x_{2}=\frac{U\cdot U_{2}}{U_{2}\cdot U_{2}}.
Calculo U\cdot U_{1} e U_{1}\cdot U_{1}:
U\cdot U_{1}=(-21)\cdot 3 + (-2)\cdot 4 + 19\cdot 1 + 39\cdot 0 = -63 -8 +19 = -52,
U_{1}\cdot U_{1}=26\quad\text{(já calculado antes)}.á
Logo
x_{1}=\frac{-52}{26}=-2.
Agora U\cdot U_{2} e U_{2}\cdot U_{2}:
U\cdot U_{2}=(-21)(-5)+(-2)(2)+19\cdot 7 + 39\cdot 13 = 105 -4 +133 +507 = 741,
U_{2}\cdot U_{2}=(-5)^{2}+2^{2}+7^{2}+13^{2}=25+4+49+169=247.
Portanto
x_{2}=\frac{741}{247}=3.
Conferência rápida multiplicando: -2U_{1}+3U_{2} = -2(3,4,1,0) + 3(-5,2,7,13)
= (-6,-8,-2,0) + (-15,6,21,39) = (-21,-2,19,39)=U,
logo está correto.

Resposta

(a) \{(3,4,1,0),(-2,-2,0,1)\}
(b) \{(3,4,1,0),(-5,2,7,13)\}
(c) U\in W e U = x_{1}U_{1}+x_{2}U_{2} com x_{1}=-2 e x_{2}=3.

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