Exercício 18. Considere o PVI
y^{\prime}=\sqrt{y}, \quad y(0)=0 .
(a) Verifique as hipóteses do TEU para a função f(x, y)=\sqrt{y} numa vizinhança de (0,0).
(b) Discuta se o TEU garante unicidade da solução. (c) Encontre ao menos duas soluções distintas do PVI e discuta a aparente contradição com o TEU.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
y'=\sqrt{y},\qquad y(0)=0.
O que se pede:
(a) Verificar as hipóteses do TEU para f(x,y)=\sqrt{y} numa vizinhança de (0,0).
(b) Discutir se o TEU garante unicidade da solução desse PVI.
(c) Encontrar pelo menos duas soluções distintas do PVI e discutir a aparente contradição com o TEU.
Informações relevantes dadas:
  • A função do lado direito é f(x,y)=\sqrt{y}. Note que f depende só de y e está definida apenas para y\ge 0.
  • O ponto inicial é (x_0,y_0)=(0,0).

Passo 2

Breve explicação do que exige o TEU (Teorema de Existência e Unicidade) — só fórmulas e ideias necessárias, passo a passo e com linguagem simples.
  • Existência: se f(x,y) é contínua numa vizinhança retangular de (x_0,y_0), então existe pelo menos uma solução do PVI definida em algum intervalo contendo x_0.
    • Aqui “contínua” significa: para todo ponto (x,y) na vizinhança, f(x,y) varia de forma contínua com (x,y).
  • Unicidade: além da continuidade, se f satisfaz uma condição de Lipschitz em y na mesma vizinhança, então a solução é única.
    • A condição de Lipschitz em y quer dizer que existe uma constante L tal que, para todos (x,y_1) e (x,y_2) na vizinhança,
    |f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le L\,|y_1-y_2|.
    • Uma forma prática: se \partial f/\partial y existe e é limitada na vizinhança, então f é Lipschitz em y (mas atenção: a recíproca não é necessária aqui; é só uma condição suficiente).
Vou usar essas ideias para checar f(x,y)=\sqrt{y}.

Passo 3

Verificar continuidade de f numa vizinhança de (0,0).
  • Observação: \sqrt{y} está definida somente para y\ge0. Podemos tomar uma vizinhança retangular de (0,0) do tipo
R=\{(x,y)\mid |x|\le a,\; 0\le y\le b\},
com a>0 e b>0 pequenos. Isso contém (0,0) e só inclui pontos com y\ge0, onde \sqrt{y} é bem definida.
  • A função y\mapsto\sqrt{y} é contínua para y\ge0. Como f não depende de x, f é contínua em todo o retângulo R.
Conclusão do passo: a hipótese de continuidade necessária para a parte de existência do TEU é satisfeita numa vizinhança adequada de (0,0). Logo o TEU garante existência de pelo menos uma solução local do PVI.

Passo 4

Verificar (e ensinar) a condição de Lipschitz em y para f(x,y)=\sqrt{y}.
  • Lembrete prático: uma função g(y) é Lipschitz em um intervalo se a razão
\frac{|g(y_1)-g(y_2)|}{|y_1-y_2|}
é uniformemente limitada por uma constante finita quando y_1,y_2 variam no intervalo.
  • Calcule a diferença para g(y)=\sqrt{y}. Use a identidade algébrica útil (racionalização):
|\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}|=\frac{|y_1-y_2|}{\sqrt{y_1}+\sqrt{y_2}}.
Dividindo pelo módulo da diferença:
\frac{|\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}|}{|y_1-y_2|}=\frac{1}{\sqrt{y_1}+\sqrt{y_2}}.
  • Agora observe o que acontece quando um dos y's se aproxima de 0. Por exemplo, tome y_2=0 e y_1\to 0^+. Então
\frac{|\sqrt{y_1}-\sqrt{0}|}{|y_1-0|}=\frac{1}{\sqrt{y_1}}\to +\infty.
Logo não existe uma constante L finita que controle essa razão para todos y\in[0,b]. Em outras palavras, f NÃO é Lipschitz em y em qualquer vizinhança que inclua pontos com y=0.
  • Comentário adicional (intuitivo): a derivada formal \partial f/\partial y=(2\sqrt{y})^{-1} explode quando y\to0^+, o que confirma a falta de Lipschitz perto de y=0.
Conclusão do passo: a hipótese de Lipschitz (necessária para garantir unicidade pelo TEU) falha numa vizinhança de (0,0). Portanto o TEU NÃO garante unicidade aqui.

Passo 5

Vamos encontrar soluções explícitas do PVI. Primeiro, resolvemos a equação diferencial por separação de variáveis para o caso y>0.
  • Separação:
\frac{dy}{dx}=\sqrt{y}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{\sqrt{y}}=dx.
  • Integre ambos os lados (para y>0 a integral é legítima):
\int \frac{dy}{\sqrt{y}}=\int dx \quad\Longrightarrow\quad 2\sqrt{y}=x+C,
onde C é constante de integração.
  • Isolando y:
\sqrt{y}=\frac{x+C}{2}\quad\Longrightarrow\quad y=\frac{(x+C)^2}{4}.
Isto é a família de curvas gerais válida enquanto \sqrt{y} for a raiz não-negativa e a igualdade mantiver o sinal correto (explicito a seguir o domínio).

Passo 6

Impondo a condição inicial y(0)=0 sobre a família y=(x+C)^2/4.
  • Inserindo x=0, y(0)=C^2/4. Para que y(0)=0 é necessário C=0.
  • Assim uma solução candidata é
y(x)=\frac{x^2}{4}.
Verificação rápida do que ocorre nos dois lados de x=0:
  • Calcule y'(x)=x/2.
  • Calcule \sqrt{y(x)}=\sqrt{x^2/4}=|x|/2.
  • A igualdade y'(x)=\sqrt{y(x)} então exige x/2=|x|/2, isto é, só vale quando x\ge 0. Portanto y(x)=x^2/4 satisfaz a equação diferencial para x\ge0. Em particular é uma solução do PVI em qualquer intervalo que contenha 0 e esteja contido em [0,\infty). Ela satisfaz y(0)=0.

Passo 7

A solução trivial y\equiv 0 e verificação.
  • Teste: se y(x)\equiv 0 então y'(x)=0 e \sqrt{y(x)}=0. Assim a equação diferencial é satisfeita para todo x.
  • Além disso y(0)=0. Logo y\equiv 0 é outra solução do mesmo PVI, distinta de y(x)=x^2/4 (pelo menos para x>0).
Já temos, portanto, pelo menos duas soluções distintas que satisfazem o mesmo PVI no ponto inicial.

Passo 8

Construção da família infinita de soluções (mostra a grande não unicidade).
  • Para qualquer constante a\ge 0\) podemos definir a função \[y_a(x)=\begin{cases} 0, & 0\le x\le a,\\[4pt] \dfrac{(x-a)^2}{4}, & x\ge a. \end{cases}
(Se quiser permitir soluções também definidas para x<0\], pode estender \(y_a para x<0 como zero; o essencial é o comportamento à direita de 0.)
  • Verificações:
    • Para 0\le x\le a temos y_a(x)=0, então y_a'(x)=0 e \sqrt{y_a(x)}=0, logo a ODE é satisfeita ali.
    • Para x>a temos y_a(x)=(x-a)^2/4. Então y_a'(x)=(x-a)/2 e \sqrt{y_a(x)}=|x-a|/2=(x-a)/2 (pois x-a>0 nessa região). Logo a ODE também é satisfeita nessa região.
    • No ponto de junção x=a: y_a é contínua pois ambos os lados dão zero ali; também a derivada à esquerda é 0 e a derivada à direita em x=a é (x-a)/2\big|_{x=a}=0. Portanto y_a é \mathcal{C}^1 e satisfaz a ODE em todo o intervalo considerado.
    • Finalmente y_a(0)=0 para qualquer a\ge0 pois se a>0 então 0\in[0,a] e y_a(0)=0; se a=0 a função é y_0(x)=x^2/4.
  • Conclusão: existe uma família infinita de soluções que permanecem iguais a zero até um tempo a arbitrário e depois “decolam” seguindo a parábola (x-a)^2/4. Todas satisfazem o PVI inicial em x=0.]

Passo 9

Explicação final da aparente contradição com o TEU e intuição.
  • Não há contradição: o TEU garante existência porque f é contínua perto de (0,0), mas a parte de unicidade do TEU precisa da condição adicional de Lipschitz em y, que não vale aqui (a razão das diferenças explodiu quando uma das y's vai a zero). Como a hipótese de unicidade falha, a falta de unicidade das soluções é perfeitamente compatível com o TEU.
  • Intuição física/simple: em y=0 a velocidade \sqrt{y} é zero, então a solução pode ficar “parada” em zero um tempo arbitrário; quando decide começar a crescer, pode seguir a lei que obtivemos. A função f tem inclinação vertical perto de y=0, o que permite esse tipo de comportamento “retardado” e produz não unicidade.

Resposta

(a) Em uma vizinhança retangular R=\{(|x|\le a,\;0\le y\le b)\} contendo (0,0), f(x,y)=\sqrt{y} é contínua, logo a hipótese de existência do TEU é satisfeita.
(b) O TEU não garante unicidade porque f não é Lipschitz em y perto de (0,0) (a derivada \partial f/\partial y=(2\sqrt{y})^{-1} explode quando y\to0^+).
(c) Duas soluções distintas são, por exemplo, y(x)\equiv 0 e y(x)=x^2/4 (esta última válida para x\ge0). Mais geralmente, para cada a\ge0,
y_a(x)=\begin{cases}0,&0\le x\le a,\\[4pt]\dfrac{(x-a)^2}{4},&x\ge a,\end{cases}
é uma solução do PVI; isto ilustra a não unicidade e não contraria o TEU porque a condição de unicidade não está satisfeita.]

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