(a) Verifique as hipóteses do TEU para a função f(x, y)=\sqrt{y} numa vizinhança de (0,0).
(b) Discuta se o TEU garante unicidade da solução. (c) Encontre ao menos duas soluções distintas do PVI e discuta a aparente contradição com o TEU.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
y'=\sqrt{y},\qquad y(0)=0.
O que se pede:
(a) Verificar as hipóteses do TEU para f(x,y)=\sqrt{y} numa vizinhança de (0,0).
(b) Discutir se o TEU garante unicidade da solução desse PVI.
(c) Encontrar pelo menos duas soluções distintas do PVI e discutir a aparente contradição com o TEU.
Informações relevantes dadas:
A função do lado direito é f(x,y)=\sqrt{y}. Note que f depende só de y e está definida apenas para y\ge 0.
O ponto inicial é (x_0,y_0)=(0,0).
Passo 2
Breve explicação do que exige o TEU (Teorema de Existência e Unicidade) — só fórmulas e ideias necessárias, passo a passo e com linguagem simples.
Existência: se f(x,y) é contínua numa vizinhança retangular de (x_0,y_0), então existe pelo menos uma solução do PVI definida em algum intervalo contendo x_0.
Aqui “contínua” significa: para todo ponto (x,y) na vizinhança, f(x,y) varia de forma contínua com (x,y).
Unicidade: além da continuidade, se f satisfaz uma condição de Lipschitz em y na mesma vizinhança, então a solução é única.
A condição de Lipschitz em y quer dizer que existe uma constante L tal que, para todos (x,y_1) e (x,y_2) na vizinhança,
|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le L\,|y_1-y_2|.
Uma forma prática: se \partial f/\partial y existe e é limitada na vizinhança, então f é Lipschitz em y (mas atenção: a recíproca não é necessária aqui; é só uma condição suficiente).
Vou usar essas ideias para checar f(x,y)=\sqrt{y}.
Passo 3
Verificar continuidade de f numa vizinhança de (0,0).
Observação: \sqrt{y} está definida somente para y\ge0. Podemos tomar uma vizinhança retangular de (0,0) do tipo
R=\{(x,y)\mid |x|\le a,\; 0\le y\le b\},
com a>0 e b>0 pequenos. Isso contém (0,0) e só inclui pontos com y\ge0, onde \sqrt{y} é bem definida.
A função y\mapsto\sqrt{y} é contínua para y\ge0. Como f não depende de x, f é contínua em todo o retângulo R.
Conclusão do passo: a hipótese de continuidade necessária para a parte de existência do TEU é satisfeita numa vizinhança adequada de (0,0). Logo o TEU garante existência de pelo menos uma solução local do PVI.
Passo 4
Verificar (e ensinar) a condição de Lipschitz em y para f(x,y)=\sqrt{y}.
Lembrete prático: uma função g(y) é Lipschitz em um intervalo se a razão
\frac{|g(y_1)-g(y_2)|}{|y_1-y_2|}
é uniformemente limitada por uma constante finita quando y_1,y_2 variam no intervalo.
Calcule a diferença para g(y)=\sqrt{y}. Use a identidade algébrica útil (racionalização):
Logo não existe uma constante L finita que controle essa razão para todos y\in[0,b]. Em outras palavras, f NÃO é Lipschitz em y em qualquer vizinhança que inclua pontos com y=0.
Comentário adicional (intuitivo): a derivada formal \partial f/\partial y=(2\sqrt{y})^{-1} explode quando y\to0^+, o que confirma a falta de Lipschitz perto de y=0.
Conclusão do passo: a hipótese de Lipschitz (necessária para garantir unicidade pelo TEU) falha numa vizinhança de (0,0). Portanto o TEU NÃO garante unicidade aqui.
Passo 5
Vamos encontrar soluções explícitas do PVI. Primeiro, resolvemos a equação diferencial por separação de variáveis para o caso y>0.
Isto é a família de curvas gerais válida enquanto \sqrt{y} for a raiz não-negativa e a igualdade mantiver o sinal correto (explicito a seguir o domínio).
Passo 6
Impondo a condição inicial y(0)=0 sobre a família y=(x+C)^2/4.
Inserindo x=0, y(0)=C^2/4. Para que y(0)=0 é necessário C=0.
Assim uma solução candidata é
y(x)=\frac{x^2}{4}.
Verificação rápida do que ocorre nos dois lados de x=0:
Calcule y'(x)=x/2.
Calcule \sqrt{y(x)}=\sqrt{x^2/4}=|x|/2.
A igualdade y'(x)=\sqrt{y(x)} então exige x/2=|x|/2, isto é, só vale quando x\ge 0. Portanto y(x)=x^2/4 satisfaz a equação diferencial para x\ge0. Em particular é uma solução do PVI em qualquer intervalo que contenha 0 e esteja contido em [0,\infty). Ela satisfaz y(0)=0.
Passo 7
A solução trivial y\equiv 0 e verificação.
Teste: se y(x)\equiv 0 então y'(x)=0 e \sqrt{y(x)}=0. Assim a equação diferencial é satisfeita para todo x.
Além disso y(0)=0. Logo y\equiv 0 é outra solução do mesmo PVI, distinta de y(x)=x^2/4 (pelo menos para x>0).
Já temos, portanto, pelo menos duas soluções distintas que satisfazem o mesmo PVI no ponto inicial.
Passo 8
Construção da família infinita de soluções (mostra a grande não unicidade).
Para qualquer constante a\ge 0\) podemos definir a função
\[y_a(x)=\begin{cases} 0, & 0\le x\le a,\\[4pt] \dfrac{(x-a)^2}{4}, & x\ge a. \end{cases}
(Se quiser permitir soluções também definidas para x<0\], pode estender \(y_a para x<0 como zero; o essencial é o comportamento à direita de 0.)
Verificações:
Para 0\le x\le a temos y_a(x)=0, então y_a'(x)=0 e \sqrt{y_a(x)}=0, logo a ODE é satisfeita ali.
Para x>a temos y_a(x)=(x-a)^2/4. Então y_a'(x)=(x-a)/2 e \sqrt{y_a(x)}=|x-a|/2=(x-a)/2 (pois x-a>0 nessa região). Logo a ODE também é satisfeita nessa região.
No ponto de junção x=a: y_a é contínua pois ambos os lados dão zero ali; também a derivada à esquerda é 0 e a derivada à direita em x=a é (x-a)/2\big|_{x=a}=0. Portanto y_a é \mathcal{C}^1 e satisfaz a ODE em todo o intervalo considerado.
Finalmente y_a(0)=0 para qualquer a\ge0 pois se a>0 então 0\in[0,a] e y_a(0)=0; se a=0 a função é y_0(x)=x^2/4.
Conclusão: existe uma família infinita de soluções que permanecem iguais a zero até um tempo a arbitrário e depois “decolam” seguindo a parábola (x-a)^2/4. Todas satisfazem o PVI inicial em x=0.]
Passo 9
Explicação final da aparente contradição com o TEU e intuição.
Não há contradição: o TEU garante existência porque f é contínua perto de (0,0), mas a parte de unicidade do TEU precisa da condição adicional de Lipschitz em y, que não vale aqui (a razão das diferenças explodiu quando uma das y's vai a zero). Como a hipótese de unicidade falha, a falta de unicidade das soluções é perfeitamente compatível com o TEU.
Intuição física/simple: em y=0 a velocidade \sqrt{y} é zero, então a solução pode ficar “parada” em zero um tempo arbitrário; quando decide começar a crescer, pode seguir a lei que obtivemos. A função f tem inclinação vertical perto de y=0, o que permite esse tipo de comportamento “retardado” e produz não unicidade.
Resposta
(a) Em uma vizinhança retangular R=\{(|x|\le a,\;0\le y\le b)\} contendo (0,0), f(x,y)=\sqrt{y} é contínua, logo a hipótese de existência do TEU é satisfeita.
(b) O TEU não garante unicidade porque f não é Lipschitz em y perto de (0,0) (a derivada \partial f/\partial y=(2\sqrt{y})^{-1} explode quando y\to0^+).
(c) Duas soluções distintas são, por exemplo, y(x)\equiv 0 e y(x)=x^2/4 (esta última válida para x\ge0). Mais geralmente, para cada a\ge0,