Exercício 17. (Equação logística) Considere o modelo logístico com crescimento limitado:
(a) Classifique a equação quanto à separabilidade. (b) Resolva o PVI. (c) Interprete o limite
.
Passo 1
O enunciado fornece uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com condição inicial. Especificamente:
- Equação:
- Condição inicial:
O enunciado pede três coisas:
(a) classificar a equação quanto à separabilidade;
(b) resolver o problema de valor inicial (PVI) e obter ;
(c) interpretar o limite .
(a) classificar a equação quanto à separabilidade;
(b) resolver o problema de valor inicial (PVI) e obter
(c) interpretar o limite
Passo 2
Identificar se a equação é separável.
Uma equação de primeira ordem é separável se puder ser escrita na forma , isto é, produto de uma função só de
por uma só de
. Aqui a direita é
, que é um produto de
(função só de
, constante) por uma função só de
. Portanto é possível separar as variáveis. Escrevemos:
Uma equação de primeira ordem é separável se puder ser escrita na forma
e isolamos os
de um lado e
do outro:
Passo 3
Simplificar a expressão em
para integrar.
A fração do lado esquerdo fica mais simples se manipularmos o denominador:
A fração do lado esquerdo fica mais simples se manipularmos o denominador:
Logo
Portanto a integral a calcular é
Para integrar o lado esquerdo é conveniente decompor em frações parciais.
Passo 4
Fazer frações parciais. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Comparando coeficientes (constante e coeficiente de
):
Logo
Agora integramos cada termo (lembrando que
).
Passo 5
Integrar ambos os lados. Pelo passo anterior:
Calculando as integrais:
Portanto
onde
é constante de integração. Usando propriedades dos logaritmos:
Exponentiando ambos os lados definindo
(uma constante positiva arbitrária):
Passo 6
Resolver para
em função de
. A partir de
:
Isolando
:
Essa é a forma geral (família) de soluções. Podemos também reescrever de forma equivalente:
onde
.
Passo 7
Determinar a constante usando a condição inicial
.
Usando a forma em
e
:
Usando a forma
Substituindo em
:
Multiplicando numerador e denominador por
obtém-se uma forma mais simples:
Outra forma frequentemente usada, equivalente e que facilita limites, é
Passo 8
Interpretar o limite
.
Usando a forma , quando
temos
. Logo o denominador tende a
e
Usando a forma
Interpretação qualitativa rápida: os pontos de equilíbrio (raízes de
) são
e
. Como
está entre
e
, e para
temos
, a solução cresce e tende assintoticamente para a capacidade de carga
.
Resposta
(a) A equação é separável.
(b) .
(c) .
(b)
(c)