Exercício 17. (Equação logística) Considere o modelo logístico com crescimento limitado:
y^{\prime}=2 y\left(1-\frac{y}{10}\right), \quad y(0)=1
(a) Classifique a equação quanto à separabilidade. (b) Resolva o PVI. (c) Interprete o limite \lim _{x \rightarrow \infty} y(x).

Passo 1

O enunciado fornece uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com condição inicial. Especificamente:
  • Equação: y' = 2\,y\!\left(1 - \frac{y}{10}\right).
  • Condição inicial: y(0)=1.
O enunciado pede três coisas:
(a) classificar a equação quanto à separabilidade;
(b) resolver o problema de valor inicial (PVI) e obter y(x);
(c) interpretar o limite \displaystyle \lim_{x\to\infty} y(x).

Passo 2

Identificar se a equação é separável.
Uma equação de primeira ordem é separável se puder ser escrita na forma \displaystyle \frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y), isto é, produto de uma função só de x por uma só de y. Aqui a direita é 2\cdot y\!\left(1-\dfrac{y}{10}\right), que é um produto de 2 (função só de x, constante) por uma função só de y. Portanto é possível separar as variáveis. Escrevemos:
\frac{dy}{dx}=2\,y\!\left(1-\frac{y}{10}\right)
e isolamos os y de um lado e x do outro:
\frac{dy}{y\left(1-\dfrac{y}{10}\right)} = 2\,dx.

Passo 3

Simplificar a expressão em y para integrar.
A fração do lado esquerdo fica mais simples se manipularmos o denominador:
y\left(1-\frac{y}{10}\right)=\frac{y(10-y)}{10}.
Logo
\frac{1}{y\left(1-\dfrac{y}{10}\right)}=\frac{10}{y(10-y)}.
Portanto a integral a calcular é
\int \frac{10}{y(10-y)}\,dy = \int 2\,dx.
Para integrar o lado esquerdo é conveniente decompor em frações parciais.

Passo 4

Fazer frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{10}{y(10-y)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{10-y}.
Multiplicando ambos os lados por y(10-y) obtemos
10 = A(10-y)+B y = 10A + (-A+B)\,y.
Comparando coeficientes (constante e coeficiente de y):
10A = 10 \quad\Rightarrow\quad A=1,
- A + B = 0 \quad\Rightarrow\quad B = A = 1.
Logo
\frac{10}{y(10-y)}=\frac{1}{y}+\frac{1}{10-y}.
Agora integramos cada termo (lembrando que \int \dfrac{1}{10-y}\,dy = -\ln|10-y|).

Passo 5

Integrar ambos os lados. Pelo passo anterior:
\int\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{10-y}\right)dy = \int 2\,dx.
Calculando as integrais:
\int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y|,\qquad \int \frac{1}{10-y}\,dy = -\ln|10-y|.
Portanto
\ln|y| - \ln|10-y| = 2x + C,
onde C é constante de integração. Usando propriedades dos logaritmos:
\ln\!\left(\frac{y}{10-y}\right) = 2x + C.
Exponentiando ambos os lados definindo C' = e^{C} (uma constante positiva arbitrária):
\frac{y}{10-y} = C'\,e^{2x}.

Passo 6

Resolver para y em função de x. A partir de \dfrac{y}{10-y}=C' e^{2x}:
y = (10-y)\,C' e^{2x} \quad\Rightarrow\quad y\big(1 + C' e^{2x}\big) = 10\,C' e^{2x}.
Isolando y:
y(x) = \frac{10\,C' e^{2x}}{1 + C' e^{2x}}.
Essa é a forma geral (família) de soluções. Podemos também reescrever de forma equivalente:
y(x)=\frac{10}{1 + \dfrac{1}{C' } e^{-2x}} = \frac{10}{1 + K e^{-2x}},
onde K=\dfrac{1}{C'}.

Passo 7

Determinar a constante usando a condição inicial y(0)=1.
Usando a forma \dfrac{y}{10-y}=C' e^{2x} em x=0 e y(0)=1:
\frac{1}{10-1}=C' e^{0} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{9}=C'.
Substituindo em y(x)=\dfrac{10\,C' e^{2x}}{1 + C' e^{2x}}:
y(x)=\frac{10\cdot \dfrac{1}{9} e^{2x}}{1 + \dfrac{1}{9} e^{2x}} = \frac{\dfrac{10}{9} e^{2x}}{1 + \dfrac{1}{9} e^{2x}}.
Multiplicando numerador e denominador por 9 obtém-se uma forma mais simples:
y(x)=\frac{10\,e^{2x}}{9 + e^{2x}}.
Outra forma frequentemente usada, equivalente e que facilita limites, é
y(x)=\frac{10}{1 + 9 e^{-2x}}.

Passo 8

Interpretar o limite \displaystyle \lim_{x\to\infty} y(x).
Usando a forma \displaystyle y(x)=\frac{10}{1+9 e^{-2x}}, quando x\to\infty temos e^{-2x}\to 0. Logo o denominador tende a 1 e
\lim_{x\to\infty} y(x)=10.
Interpretação qualitativa rápida: os pontos de equilíbrio (raízes de 2y(1-y/10)=0) são y=0 e y=10. Como y(0)=1 está entre 0 e 10, e para 0<y<10 temos y'>0, a solução cresce e tende assintoticamente para a capacidade de carga y=10.

Resposta

(a) A equação é separável.
(b) \displaystyle y(x)=\frac{10\,e^{2x}}{9+e^{2x}}=\frac{10}{1+9e^{-2x}}.
(c) \displaystyle \lim_{x\to\infty} y(x)=10.

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