Exercício 16. (Equação redutível por substituição) Analise o PVI
(a) Mostre que a substituição
transforma a equação em uma equação linear em
. (b) Resolva o PVI e volte à variável
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
Pede-se:
- (a) mostrar que a substituição
transforma a equação (investigar o que acontece com a equação ao fazer essa substituição); - (b) resolver o PVI e voltar à variável
.
Informações relevantes dadas:
- A equação é uma equação diferencial de primeira ordem com condição inicial em
. - Foi sugerida a substituição
(devemos aplicá-la e ver o que ela produz). - A solução final deve satisfazer
.
Passo 2
Aplicando a substituição
. Primeiro relaciono
e
e suas derivadas:
Agora substituo
e
na equação original:
Isolando
obtenho
Este é o resultado imediato da substituição
. Em palavras: a substituição leva a uma equação para
dada por
Observação didática rápida: quando se faz uma substituição do tipo
combinação linear de
, sempre calculamos
por derivação direta usando
(já que
), e então substituímos
em termos de
para reexpressar a ODE só em
e
.
Passo 3
Interpretação da equação obtida e escolha do método para resolver o PVI.
A equação em ,
A equação em
não é uma equação linear na forma padrão
(pois aparece
, que contém
no denominador). Portanto, embora a substituição
transforme a equação original numa forma diferente, ela não produz uma equação linear simples em
. Para resolver o PVI de modo direto e mais simples, é mais conveniente observar que a equação original é homogênea de grau zero (numerador e denominador são funções homogêneas de grau 1 em
), e assim usar a substituição usual para equações homogêneas:
Vou seguir esse caminho porque leva a uma equação separável, o que permite resolver o PVI de forma direta e depois relacionar com
se necessário. (Escolhi este método porque é o mais prático para resolver a equação dada no tempo de prova.)
Passo 4
Fazer a substituição
. Então
Substituo na ODE:
Isolo
:
Logo a equação para
é
ou seja uma equação separável.
Passo 5
Integrar ambos os lados. Vou integrar com cuidado e explicar as integrais usadas.
Primeiro, escrevo a integral do lado esquerdo em duas parcelas:
- Para
: usamos a fórmula . Aqui . Portanto
- Para
: note que é da forma se tomarmos , porque . Assim
Portanto a integral completa do lado esquerdo é
A integral do lado direito é
Assim obtemos a identidade (constante
geral)
Passo 6
Aplicar a condição inicial
. Com
isso dá
. Substituo
e
na expressão integrada para determinar
:
logo
Substituo
na solução geral integrada:
Passo 7
Voltar à variável
(lembre
). Faço algumas manipulações para obter uma forma mais limpa e que cancele os
que aparecem ao expressar
em termos de
.
Observação prática: usando
e
, temos
Substituindo isso na igualdade com
determinado, os termos
se cancelam, ficando uma relação implícita mais simples entre
e
. Após simplificar obtemos
Multiplicando por
e rearranjando, uma forma elegante e compacta da solução implícita é
Esta relação satisfaz a condição inicial
(verifique:
e
).