[Exercício 2.18] Considere o sistema de equações lineares A x=b, com m equações e n incógnitas. Supondo que a solução do sistema homogêneo correspondente seja única, avalie as afirmações a seguir.
I) As colunas da matriz A são linearmente dependentes.
II) O sistema de equações lineares A x=b tem infnitas soluções.
III) Se m>n, então a matriz A tem m-n linhas que são combinações lineares de n linhas.
IV) A quantidade de equações do sistema A x=b é maior ou igual à quantidade de incógnitas.
são corretas apenas as afirmações:
  1. I e II;
  2. II e III;
  3. III e IV;
  4. I, II e IV;
  5. I, III e IV.

Passo 1

O enunciado considera o sistema de equações lineares
A x = b
com m equações e n incógnitas, e supõe que o sistema homogêneo
A x = 0
tenha solução única (isto é, apenas x=0). Vamos usar conceitos de posto da matriz, independência linear de colunas e dimensão de espaço-nulo para avaliar as afirmações I–IV.

Passo 2

Como o único vetor que satisfaz \!A x=0 é x=0, o espaço-nulo de A é trivial. Pela Teorema da Dimensão,
\dim\bigl(\ker(A)\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \rank(A)=n.
Isso significa que as colunas de A são linearmente independentes, logo a afirmação I (“colunas de A são linearmente dependentes”) é falsa.

Passo 3

Quando o sistema homogêneo só tem a solução trivial, qualquer solução de A x=b, se existir, é única. Para ter infinitas soluções seria preciso \dim\bigl(\ker(A)\bigr)\ge1, o que não ocorre. Portanto a afirmação II (“o sistema tem infinitas soluções”) é falsa.

Passo 4

Já sabemos que \rank(A)=n. Mas o posto também satisfaz \rank(A)\le\min(m,n). Para que \rank(A)=n seja possível, tem de valer n \le m. Isso mostra que o número de equações m é maior ou igual ao número de incógnitas n, logo a afirmação IV é verdadeira.

Passo 5

Como \rank(A)=n e existem m linhas em A, o posto de linhas também é n. Entre as m linhas, n são independentes e as outras m-n devem ser combinações lineares dessas n. Logo a afirmação III é verdadeira.

Resposta

  1. III e IV.

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