[Exercício 2.18] Considere o sistema de equações lineares
, com
equações e
incógnitas. Supondo que a solução do sistema homogêneo correspondente seja única, avalie as afirmações a seguir.
I) As colunas da matriz
são linearmente dependentes.
II) O sistema de equações lineares
tem infnitas soluções.
III) Se
, então a matriz
tem
linhas que são combinações lineares de
linhas.
IV) A quantidade de equações do sistema
é maior ou igual à quantidade de incógnitas.
são corretas apenas as afirmações:
- I e II;
- II e III;
- III e IV;
- I, II e IV;
- I, III e IV.
I) As colunas da matriz
II) O sistema de equações lineares
III) Se
IV) A quantidade de equações do sistema
são corretas apenas as afirmações:
Passo 1
O enunciado considera o sistema de equações lineares
com
equações e
incógnitas, e supõe que o sistema homogêneo
tenha solução única (isto é, apenas
). Vamos usar conceitos de posto da matriz, independência linear de colunas e dimensão de espaço-nulo para avaliar as afirmações I–IV.
Passo 2
Como o único vetor que satisfaz
é
, o espaço-nulo de
é trivial. Pela Teorema da Dimensão,
Isso significa que as colunas de
são linearmente independentes, logo a afirmação I (“colunas de
são linearmente dependentes”) é falsa.
Passo 3
Quando o sistema homogêneo só tem a solução trivial, qualquer solução de
, se existir, é única. Para ter infinitas soluções seria preciso
, o que não ocorre. Portanto a afirmação II (“o sistema tem infinitas soluções”) é falsa.
Passo 4
Já sabemos que
. Mas o posto também satisfaz
. Para que
seja possível, tem de valer
Isso mostra que o número de equações
é maior ou igual ao número de incógnitas
, logo a afirmação IV é verdadeira.
Passo 5
Como
e existem
linhas em
, o posto de linhas também é
. Entre as
linhas,
são independentes e as outras
devem ser combinações lineares dessas
. Logo a afirmação III é verdadeira.
Resposta
- III e IV.