[Exercício 3.4] Sejam
e
matrizes do tipo
. Concernente às proposições abaixo:
-
-
-
-
-
-
,
assinale a sequência correta de valores lógicos.
(a)
(b) (
)
(c)
(d)
.
(e)
assinale a sequência correta de valores lógicos.
(a)
(b) (
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes
e
de ordem
e pede para verificar a veracidade de seis proposições sobre o determinante. O conteúdo necessário envolve as propriedades de não linearidade em soma, multiplicatividade, transposição, homogeneidade em escalares, potência e comportamento de menores.
Passo 2
Proposição 1:
.
O determinante não é aditivo em matrizes. Por exemplo, para e
temos
,
e
, logo
.
Portanto, a proposição 1 é falsa.
O determinante não é aditivo em matrizes. Por exemplo, para
Portanto, a proposição 1 é falsa.
Passo 3
Proposição 2:
.
Como e
, vale a igualdade, logo é verdadeira.
Como
Proposição 3:
.
É propriedade clássica do determinante que transpor a matriz não altera seu valor, logo é verdadeira.
É propriedade clássica do determinante que transpor a matriz não altera seu valor, logo é verdadeira.
Passo 4
Proposição 4:
.
Em geral para matrizes
. Aqui
dá
(para
). Então é falsa.
Em geral
Proposição 5:
.
Como , temos
, portanto é verdadeira.
Como
Passo 5
Proposição 6:
.
Aqui é o menor de ordem
. Não existe desigualdade geral que relacione
e
dessa forma; pode ser maior, igual ou menor dependendo dos valores de
. Logo é falsa.
Aqui
Passo 6
A sequência de valores lógicos é
1: F, 2: V, 3: V, 4: F, 5: V, 6: F.
Isso corresponde exatamente à alternativa (c).
1: F, 2: V, 3: V, 4: F, 5: V, 6: F.
Isso corresponde exatamente à alternativa (c).
Resposta
(c)