[Exercício 3.4] Sejam A e B matrizes do tipo n \times n. Concernente às proposições abaixo:
  1. \operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det} A+\operatorname{det} B
  2. \operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(B A)
  3. \operatorname{det} A^{t}=\operatorname{det} A
  4. \operatorname{det}(2 A)=2 \operatorname{det} A
  5. \operatorname{det} A^{2}=(\operatorname{det} A)^{2}
  6. \operatorname{det} A_{i j}<\operatorname{det} A,
    assinale a sequência correta de valores lógicos.
    (a) (V V V F V F)
    (b) ( V V F V F F )
    (c) (F V V F V F)
    (d) (V V F F V V).
    (e) (V F V F V F)

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B de ordem n e pede para verificar a veracidade de seis proposições sobre o determinante. O conteúdo necessário envolve as propriedades de não linearidade em soma, multiplicatividade, transposição, homogeneidade em escalares, potência e comportamento de menores.

Passo 2

Proposição 1: \det(A+B)=\det A+\det B.
O determinante não é aditivo em matrizes. Por exemplo, para A=I_2 e B=-I_2 temos \det(I_2)=1, \det(-I_2)=(-1)^2\cdot1=1 e \det(I_2+(-I_2))=\det(0)=0, logo 0\neq1+1.
Portanto, a proposição 1 é falsa.

Passo 3

Proposição 2: \det(AB)=\det(BA).
Como \det(AB)=\det A\cdot\det B e \det(BA)=\det B\cdot\det A, vale a igualdade, logo é verdadeira.
Proposição 3: \det(A^t)=\det A.
É propriedade clássica do determinante que transpor a matriz não altera seu valor, logo é verdadeira.

Passo 4

Proposição 4: \det(2A)=2\det A.
Em geral \det(\lambda A)=\lambda^n\det A para matrizes n\times n. Aqui \lambda=2 \det(2A)=2^n\det A\neq2\det A (para n>1). Então é falsa.
Proposição 5: \det(A^2)=(\det A)^2.
Como A^2=AA, temos \det(A^2)=\det A\cdot\det A=(\det A)^2, portanto é verdadeira.

Passo 5

Proposição 6: \det A_{ij}<\det A.
Aqui A_{ij} é o menor de ordem n-1. Não existe desigualdade geral que relacione \det A_{ij} e \det A dessa forma; pode ser maior, igual ou menor dependendo dos valores de A. Logo é falsa.

Passo 6

A sequência de valores lógicos é
1: F, 2: V, 3: V, 4: F, 5: V, 6: F.
Isso corresponde exatamente à alternativa (c).

Resposta

(c)

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