Usando conjuntamente as condições de aditividade e homogeneidade de sistemas (isto é, a combinação linear vista em aula), analisar os casos a seguir para definir a sua linearidade.
OBS: Identidade trigonométrica para letra (d): \operatorname{sen}(a \pm b)=\operatorname{sen}(a) \cos (b) \pm \operatorname{sen}(b) \cos (a)
y(t)=\operatorname{sen} x(t)

Passo 1

O enunciado dá o sistema cuja saída é y(t)=\operatorname{sen} x(t) e pede que a gente analise se esse sistema é linear, usando conjuntamente as condições de aditividade e homogeneidade (ou seja, a propriedade de superposição).
Informações relevantes: a definição do sistema T é T\{x(t)\}=\operatorname{sen} x(t). A pergunta é: esse T satisfaz, para quaisquer sinais x_1(t),x_2(t) e quaisquer escalares a,b, a igualdade
T\{a x_1(t)+b x_2(t)\}=a\,T\{x_1(t)\}+b\,T\{x_2(t)\}?

Passo 2

Vamos lembrar (explicar) o que significa linearidade de forma prática e didática. Um sistema T é linear se e somente se valerem simultaneamente:
  1. Aditividade: para quaisquer x_1,x_2,
T\{x_1+x_2\}=T\{x_1\}+T\{x_2\}.
  1. Homogeneidade (ou escala): para qualquer escalar a e qualquer x,
T\{a x\}=a\,T\{x\}.
Juntando as duas, obtemos a propriedade de superposição geral:
T\{a x_1 + b x_2\}=a\,T\{x_1\}+b\,T\{x_2\}
para quaisquer a,b,x_1,x_2. Para provar que o sistema não é linear basta encontrar um contraexemplo (ou mostrar que uma das igualdades falha em geral).

Passo 3

Testando aditividade de forma simbólica usando a identidade trigonométrica dada: para quaisquer funções x_1(t),x_2(t) temos (pela identidade)
\operatorname{sen}\big(x_1(t)+x_2(t)\big)=\operatorname{sen}x_1(t)\cos x_2(t)+\operatorname{sen}x_2(t)\cos x_1(t).
Se a aditividade fosse verdadeira precisaríamos ter
\operatorname{sen}\big(x_1+x_2\big)=\operatorname{sen}x_1+\operatorname{sen}x_2
para todos x_1,x_2. Comparando com a identidade acima, isso exigiria que \cos x_2(t)=\cos x_1(t)=1 para todos t, o que só ocorre em casos muito especiais (por exemplo quando x_1 e x_2 são múltiplos inteiros de 2\pi). Logo, em geral a igualdade não vale — isto já indica que a aditividade falha em geral.

Passo 4

Mostro um contraexemplo numérico simples para ficar claro (isso é válido na prova: um contraexemplo basta). Tome entradas constantes
x_1(t)=\frac{\pi}{2},\qquad x_2(t)=\frac{\pi}{2}\quad\text{para todo }t.
Calcule cada lado da aditividade:
T\{x_1+x_2\}=\operatorname{sen}\big(\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{2}\big)=\operatorname{sen}(\pi)=0,
enquanto
T\{x_1\}+T\{x_2\}=\operatorname{sen}\big(\tfrac{\pi}{2}\big)+\operatorname{sen}\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1+1=2.
Como 0\neq 2, a aditividade falha: T\{x_1+x_2\}\neq T\{x_1\}+T\{x_2\}. Portanto o sistema já não é linear.

Passo 5

Só para reforçar com a condição de homogeneidade (também podemos dar um contraexemplo): tome escala a=2 e entrada constante
x(t)=\frac{\pi}{4}\quad\text{para todo }t.
Então
T\{2x\}=\operatorname{sen}\big(2\cdot\tfrac{\pi}{4}\big)=\operatorname{sen}\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1,
enquanto
2\,T\{x\}=2\operatorname{sen}\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\approx 1,414\ldots
Como 1\neq\sqrt{2}, a homogeneidade também falha em geral. Mais uma razão para concluir que o sistema não é linear.

Passo 6

Conclusão explicada de forma intuitiva: a função \operatorname{sen}(\cdot) é uma transformação não linear (é não linear devido à curvatura, mistura termos por produto quando somamos argumentos, etc.). Linearidade exigiria que \operatorname{sen} transformasse somas em somas e multiplicações por escalares passassem para fora da função — propriedades que não são verdadeiras para a função seno, exceto em casos triviais (entrada zero ou ângulos múltiplos de 2\pi). Em provas, basta um contraexemplo como os acima para declarar não linearidade.

Resposta

O sistema não é linear.

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