Usando conjuntamente as condições de aditividade e homogeneidade de sistemas (isto é, a combinação linear vista em aula), analisar os casos a seguir para definir a sua linearidade.
OBS: Identidade trigonométrica para letra (d):
OBS: Identidade trigonométrica para letra (d):
Passo 1
O enunciado dá o sistema cuja saída é
e pede que a gente analise se esse sistema é linear, usando conjuntamente as condições de aditividade e homogeneidade (ou seja, a propriedade de superposição).
Informações relevantes: a definição do sistema é
. A pergunta é: esse
satisfaz, para quaisquer sinais
e quaisquer escalares
, a igualdade
Informações relevantes: a definição do sistema
Passo 2
Vamos lembrar (explicar) o que significa linearidade de forma prática e didática. Um sistema
é linear se e somente se valerem simultaneamente:
- Aditividade: para quaisquer
,
- Homogeneidade (ou escala): para qualquer escalar
e qualquer ,
Juntando as duas, obtemos a propriedade de superposição geral:
para quaisquer
. Para provar que o sistema não é linear basta encontrar um contraexemplo (ou mostrar que uma das igualdades falha em geral).
Passo 3
Testando aditividade de forma simbólica usando a identidade trigonométrica dada: para quaisquer funções
temos (pela identidade)
Se a aditividade fosse verdadeira precisaríamos ter
para todos
. Comparando com a identidade acima, isso exigiria que
para todos
, o que só ocorre em casos muito especiais (por exemplo quando
e
são múltiplos inteiros de
). Logo, em geral a igualdade não vale — isto já indica que a aditividade falha em geral.
Passo 4
Mostro um contraexemplo numérico simples para ficar claro (isso é válido na prova: um contraexemplo basta). Tome entradas constantes
Calcule cada lado da aditividade:
enquanto
Como
, a aditividade falha:
. Portanto o sistema já não é linear.
Passo 5
Só para reforçar com a condição de homogeneidade (também podemos dar um contraexemplo): tome escala
e entrada constante
Então
enquanto
Como
, a homogeneidade também falha em geral. Mais uma razão para concluir que o sistema não é linear.
Passo 6
Conclusão explicada de forma intuitiva: a função
é uma transformação não linear (é não linear devido à curvatura, mistura termos por produto quando somamos argumentos, etc.). Linearidade exigiria que
transformasse somas em somas e multiplicações por escalares passassem para fora da função — propriedades que não são verdadeiras para a função seno, exceto em casos triviais (entrada zero ou ângulos múltiplos de
). Em provas, basta um contraexemplo como os acima para declarar não linearidade.
Resposta
O sistema não é linear.