Exercício 18. Encontre uma equação da reta tangente e normal à curva y=\frac{x-1}{x-2} no ponto (3,2).
Resposta: y=-x+5 e y=x-1 são as retas tangente e normal, respectivamente.

Passo 1

O enunciado nos pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva
y = \frac{x - 1}{x - 2}
no ponto (3,2). Para isso, vamos precisar calcular a derivada dessa função (regra do quociente) para obter a inclinação da tangente e, em seguida, determinar a reta normal perpendicular.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente, com u(x)=x-1 e v(x)=x-2, temos u'(x)=1 e v'(x)=1. Então
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{1\cdot(x-2) - (x-1)\cdot1}{(x-2)^2} = \frac{x-2 - x +1}{(x-2)^2} = \frac{-1}{(x-2)^2}.

Passo 3

No ponto x=3, a inclinação da tangente é
m_{\text{t}} = y'(3) = \frac{-1}{(3-2)^2} = -1.
Usando a forma ponto-inclinação y - y_0 = m\,(x - x_0) com (x_0,y_0)=(3,2),
y - 2 = -1\,(x - 3) \quad\Longrightarrow\quad y = -x + 5.

Passo 4

A reta normal é perpendicular à tangente, logo sua inclinação é o negativo do recíproco de -1, isto é, m_{\text{n}}=1. De novo usando ponto-inclinação:
y - 2 = 1\,(x - 3) \quad\Longrightarrow\quad y = x - 1.

Resposta

A reta tangente é y=-x+5 e a reta normal é y=x-1.

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