Exercício 11. Em geral os custos de produção diminuem quando aumenta a produção. Suponha que uma empresa tem a seguinte função de custo, para certo produto x\) : \[C(x)= \begin{cases}1.2 x & , \text { se } 0<x \leq 100 \\\\ 0.9 x & , \text { se } 100<x \leq 300 \\\\ 0.75 x & , \text { se } 300<x \leq 600 \\\\ 0.6 x & , \text { se } 600<x\end{cases}
(a) Determine \lim _{x \rightarrow 100^{-}} C(x), \lim _{x \rightarrow 100^{+}} C(x), \lim _{x \rightarrow 600^{-}} C(x)\] e \(\lim _{x \rightarrow 600^{+}} C(x).
(b) Esboce o gráfico de C=C(x).

Passo 1

O enunciado dá a função custo C(x) definida por partes em quatro intervalos de x. O conteúdo envolvido é limite lateral de função por partes e o seu gráfico. Para resolver precisaremos usar a definição de limite lateral em cada ponto de quebra x=100 e x=600 e depois traçar segmentos lineares para cada ramo.

Passo 2

Vamos calcular os limites em x=100. Para x\to100^{-} usamos o ramo \,0<x\le100, em que
C(x)=1.2\,x,
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\lim_{x\to100^{-}}C(x)=1.2\cdot100=120.
Para x\to100^{+} usamos o ramo 100<x\le300, em que
C(x)=0.9\,x,
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\lim_{x\to100^{+}}C(x)=0.9\cdot100=90.

Passo 3

Agora calculamos os limites em x=600. Para x\to600^{-} usamos o ramo 300<x\le600, em que
C(x)=0.75\,x,
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\lim_{x\to600^{-}}C(x)=0.75\cdot600=450.
Para x\to600^{+} usamos o ramo 600<x, em que
C(x)=0.6\,x,
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\lim_{x\to600^{+}}C(x)=0.6\cdot600=360.

Passo 4

Concluímos que há descontinuidades de salto em x=100 (salto de 120 para 90) e em x=600 (salto de 450 para 360). Note que C(100)=1.2\cdot100=120 e C(600)=0.75\cdot600=450, pois cada intervalo inclui o ponto final do ramo anterior.

Passo 5

Para esboçar o gráfico de C(x):
  • No intervalo 0<x\le100, traçamos a reta de coeficiente angular 1.2 que passa por (0,0) e (100,120), com ponto fechado em (100,120).
  • No intervalo 100<x\le300, traçamos a reta de coeficiente angular 0.9 começando em ponto aberto (100,90) e indo até o ponto fechado (300,270).
  • No intervalo 300<x\le600, traçamos a reta de coeficiente angular 0.75 começando em ponto aberto (300,225) (embora C(300)=270, o ramo anterior fecha em 270) e indo até ponto fechado (600,450).
  • No intervalo 600<x, traçamos a reta de coeficiente angular 0.6 começando em ponto aberto (600,360) e prosseguindo indefinidamente.

Resposta

(a) \lim_{x\to100^{-}}C(x)=120,\ \lim_{x\to100^{+}}C(x)=90,\ \lim_{x\to600^{-}}C(x)=450,\ \lim_{x\to600^{+}}C(x)=360. (b) Gráfico de C(x): três descontinuidades de salto em x=100 e x=600. Quatro segmentos lineares com inclinações 1.2, 0.9, 0.75 e 0.6, conforme descrito no passo 5.

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