Exercício 18. Mostre que entre um grupo de cinco números inteiros (não necessariamente consecutivos) há dois com o mesmo resto quando divididos por 4.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados cinco inteiros quaisquer, sempre encontramos dois deles que deixam o mesmo resto na divisão por 4. O conteúdo principal aqui é o princípio da casa dos pombos: se colocamos mais “pombos” que “caixas”, alguma caixa terá pelo menos dois pombos.

Passo 2

Para cada inteiro a do nosso grupo, consideramos o seu resto r na divisão por 4. Logo, podemos escrever
a = 4q + r,
com q\in\mathbb{Z} e o resto r\in\{0,1,2,3\}. Assim, existem precisamente quatro possíveis classes de restos: 0, 1, 2 e 3.

Passo 3

Como temos cinco números (cinco “pombos”) e apenas quatro classes de restos (quatro “caixas”), o princípio da casa dos pombos garante que alguma classe receba pelo menos dois números. Esses dois números, por estarem na mesma classe, têm o mesmo resto ao serem divididos por 4.

Resposta

Entre qualquer grupo de cinco inteiros sempre há dois que apresentam o mesmo resto na divisão por 4.

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