Exercício 18. Mostre que entre um grupo de cinco números inteiros (não necessariamente consecutivos) há dois com o mesmo resto quando divididos por 4.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dados cinco inteiros quaisquer, sempre encontramos dois deles que deixam o mesmo resto na divisão por
. O conteúdo principal aqui é o princípio da casa dos pombos: se colocamos mais “pombos” que “caixas”, alguma caixa terá pelo menos dois pombos.
Passo 2
Para cada inteiro
do nosso grupo, consideramos o seu resto
na divisão por
. Logo, podemos escrever
com
e o resto
. Assim, existem precisamente quatro possíveis classes de restos: 0, 1, 2 e 3.
Passo 3
Como temos cinco números (cinco “pombos”) e apenas quatro classes de restos (quatro “caixas”), o princípio da casa dos pombos garante que alguma classe receba pelo menos dois números. Esses dois números, por estarem na mesma classe, têm o mesmo resto ao serem divididos por
.
Resposta
Entre qualquer grupo de cinco inteiros sempre há dois que apresentam o mesmo resto na divisão por
.