Exercício 17. Uma gaveta contém doze meias marrons e dez meias pretas, todas únicas. Um homem pega as meias aleatoriamente no escuro.
(a) Quantas meias deverão ser pegas para se ter certeza de que pelo menos duas são da mesma cor?
(b) Quantas meias deverão ser pegas para se ter certeza de que pelo menos duas são pretas?
(a) Quantas meias deverão ser pegas para se ter certeza de que pelo menos duas são da mesma cor?
(b) Quantas meias deverão ser pegas para se ter certeza de que pelo menos duas são pretas?
Passo 1
O enunciado diz que há uma gaveta com
meias marrons e
meias pretas, todas distintas, e o homem pega meias ao acaso, no escuro. Precisamos usar o Princípio da Casa dos Pombos (pior caso) para responder:
(a) quantas meias para garantir pelo menos duas da mesma cor?
(b) quantas meias para garantir pelo menos duas pretas?
(a) quantas meias para garantir pelo menos duas da mesma cor?
(b) quantas meias para garantir pelo menos duas pretas?
Passo 2
Para (a), imaginemos o pior caso, em que ele evita formar par da mesma cor pelo máximo de retiradas: primeiro pega uma marrom e depois uma preta, ficando com uma de cada cor e nenhum par. A próxima meia, seja ela marrom ou preta, deverá coincidir com uma já retirada, formando um par. Logo, com
meias, temos certeza de que há pelo menos duas da mesma cor.
Passo 3
Para (b), consideramos o pior caso para atrasar ao máximo a obtenção de duas pretas: ele pode retirar antes todas as meias não pretas, ou seja, as
marrons, sem pegar nenhuma preta. Até aí, zero pretas. Em seguida, para conseguir duas pretas, precisa retirar mais duas vezes. Assim, o total mínimo é
Resposta
(a)
(b)
(b)