Exercício 19. Considere
como um número inteiro positivo. Mostre que em um conjunto de
inteiros consecutivos há exatamente um número divisível por
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro positivo
, em qualquer bloco de
inteiros consecutivos existe exatamente um múltiplo de
. O conteúdo usado será aritmética modular, mais especificamente a ideia de classes de restos mod
.
Passo 2
Seja
o primeiro inteiro do bloco. Pela divisão euclidiana, existem inteiros
e
com
e
Assim, os
inteiros consecutivos são
Passo 3
Para cada
, temos
logo
Os números
formam
restos distintos módulo
. Como o conjunto de todos os restos possíveis é
, esses
valores esgotam exatamente todas as classes mod
.
Passo 4
Em particular, dentre os restos
há um único que é congruente a
módulo
. Para esse índice
,
, ou seja,
é divisível por
. Não há outro, porque cada resto aparece exatamente uma vez.
Resposta
Em qualquer conjunto de
inteiros consecutivos existe exatamente um múltiplo de
.