Exercício 19. Considere n como um número inteiro positivo. Mostre que em um conjunto de n inteiros consecutivos há exatamente um número divisível por n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro positivo n, em qualquer bloco de n inteiros consecutivos existe exatamente um múltiplo de n. O conteúdo usado será aritmética modular, mais especificamente a ideia de classes de restos mod n.

Passo 2

Seja k o primeiro inteiro do bloco. Pela divisão euclidiana, existem inteiros q e r com
k = qn + r
e
0 \le r \le n-1.
Assim, os n inteiros consecutivos são
k,\;k+1,\;\dots,\;k+(n-1).

Passo 3

Para cada i\in\{0,1,\dots,n-1\}, temos
k+i = qn + (r+i),
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k+i \equiv r+i \pmod{n}.
Os números r,\,r+1,\,\dots,\,r+(n-1) formam n restos distintos módulo n. Como o conjunto de todos os restos possíveis é \{0,1,\dots,n-1\}, esses n valores esgotam exatamente todas as classes mod n.

Passo 4

Em particular, dentre os restos r,\,r+1,\dots,r+(n-1) há um único que é congruente a 0 módulo n. Para esse índice i, k+i\equiv0\pmod{n}, ou seja, k+i é divisível por n. Não há outro, porque cada resto aparece exatamente uma vez.

Resposta

Em qualquer conjunto de n inteiros consecutivos existe exatamente um múltiplo de n.

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