Exercício 4.8.18. Sejam
\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & -3 & 0 \\\\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & -2 \\\\ 2 & -1 & 3 \\\\ -2 & 1 & -3 \end{array}\right)
as matrizes representativas, com respeito às bases canônicas, de aplicações lineares F, G: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}.
a) Determinar \operatorname{Im} G e \operatorname{Im}(G \circ F).
b) Determinar L=\operatorname{Im} G \cap \operatorname{Im}(G \circ F).

Passo 1

O enunciado dá as matrizes de F e G em relação à base canônica de \mathbb{R}^3:
F=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\\\ 0 & -3 & 0\\\\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix},\quad G=\begin{pmatrix} -1 & 0 & -2\\\\ 2 & -1 & 3\\\\ -2 & 1 & -3 \end{pmatrix}.
Pede-se a) \operatorname{Im}G e \operatorname{Im}(G\circ F) e b) L=\operatorname{Im}G\cap\operatorname{Im}(G\circ F). Vamos usar colunas de matriz para imagem e a propriedade \operatorname{Im}(G\circ F)=G(\operatorname{Im}F).

Passo 2

Para achar \operatorname{Im}G, tomo as colunas de G:
c_1=(-1,2,-2),\quad c_2=(0,-1,1),\quad c_3=(-2,3,-3).
Note que
c_3=2\,c_1+1\,c_2,
logo só c_1 e c_2 são necessários e são linearmente independentes. Assim
\operatorname{Im}G=\Span\{(-1,2,-2),\,(0,-1,1)\}.
Em coordenadas (x,y,z) esse plano satisfaz
y+z=0,
pois para qualquer combinação (-u,2u-v,-2u+v) tem-se (2u-v)+(-2u+v)=0.

Passo 3

Para \operatorname{Im}(G\circ F) uso a teoria:
\operatorname{Im}(G\circ F)=G\bigl(\operatorname{Im}F\bigr).
Calculo \det F para ver se F é sobrejetora:
\det F =\begin{vmatrix} 2&0&1\\\\ 0&-3&0\\\\ 1&0&-2 \end{vmatrix} =2\bigl((-3)(-2)-0\cdot0\bigr) +1\bigl(0\cdot0-(-3)\cdot1\bigr) =12+3=15\neq0.
Como \det F\neq0, F é invertível e \operatorname{Im}F=\mathbb{R}^3. Logo
\operatorname{Im}(G\circ F) =G\bigl(\mathbb{R}^3\bigr) =\operatorname{Im}G.

Passo 4

Se \operatorname{Im}(G\circ F)=\operatorname{Im}G, então
L=\operatorname{Im}G\cap\operatorname{Im}(G\circ F) =\operatorname{Im}G.

Resposta

\displaystyle \operatorname{Im}G=\Span\{(-1,2,-2),\,(0,-1,1)\}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid y+z=0\}. \displaystyle \operatorname{Im}(G\circ F)=\operatorname{Im}G. \displaystyle L=\operatorname{Im}G.

Exercícios relacionados