Exercício 4.8.16. Sia F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a aplicação linear tale que F\left(\mathbf{e}_{\mathbf{1}}\right)=(1,1,1), F\left(\mathbf{e}_{\mathbf{2}}\right)=(1,0,-1), F\left(\mathbf{e}_{\mathbf{3}}\right)=(1,-1, t), onde \left\{\mathbf{e}_{\mathbf{i}}\right\} indica a base canônica di \mathbb{R}^{3} e t è um parâmetro real.
a) Escrever a matriz representativa de F.
b) Determinar os valores t \in \mathbb{R} para os quais F è injetora.
c) Determinar os valores t \in \mathbb{R} para os quais F è sobrejetiva.

Passo 1

O enunciado define uma aplicação linear F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cujas imagens dos vetores da base canônica \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\} são
F(\mathbf{e}_1) = (1,1,1),\quad F(\mathbf{e}_2) = (1,0,-1),\quad F(\mathbf{e}_3) = (1,-1,t),
onde t\in\mathbb{R} é um parâmetro.
Pede-se:
a) escrever a matriz de F em base canônica;
b) determinar os valores de t para os quais F é injetora;
c) determinar os valores de t para os quais F é sobrejetora.
Para isso usaremos que a matriz de F em base canônica tem colunas dadas pelas imagens de \mathbf{e}_i e que, em \mathbb{R}^3, injeção e sobrejeção equivalem à invertibilidade da matriz (determinante não nulo).

Passo 2

A matriz representativa de F em relação à base canônica é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1 \\\\ 1 & -1 & t \end{pmatrix},
pois cada coluna é F(\mathbf{e}_i).

Passo 3

Calculamos o determinante de A em função de t:
\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1 \\\\ 1 & -1 & t \end{vmatrix} = 1\cdot(0\cdot t - (-1)\cdot(-1)) -1\cdot(1\cdot t - (-1)\cdot1) +1\cdot(1\cdot(-1)-0\cdot1) = -1 - (t+1) -1 = -(t+3).

Passo 4

A aplicação F é injetora se e somente se \det(A)\neq0, ou seja
-(t+3)\neq0 \iff t\neq -3.
Em dimensões iguais, injeção é equivalente a sobrejeção, portanto F também é sobrejetora exatamente para t\neq -3.

Resposta

a) \displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\[6pt] 1 & 0 & -1 \\[6pt] 1 & -1 & t \end{pmatrix}.
b) F é injetora para t\neq -3.
c) F é sobrejetora para t\neq -3.]

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