Exercício 4.8.17. Seja F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a aplicação linear que na base canônica de \mathbb{R}^{3} possui matriz representativa
\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & h \\\\ 4 & 2 & -2 \\\\ -2 & h & 1 \end{array}\right)
onde h \in \mathbb{R}.
a) Determinar os valores de h \in \mathbb{R} para os quais F è um isomorfismo.
b) Para os outros valores de h (i.e., quando F não é um isomorfismo) encontrar uma base para \operatorname{Im} F e \operatorname{Ker} F.

Passo 1

O enunciado nos dá uma aplicação linear F:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} cuja matriz na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & h\\\\ 4 & 2 & -2\\\\ -2 & h & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é teoria de isomorfismo de espaços vetoriais finito-dimensionais: F é isomorfismo se, e somente se, \det A\neq0. Quando \det A=0, F não é inversível e devemos encontrar bases de \operatorname{Im}F (espaço gerado pelas colunas de A) e de \ker F (solução do sistema homogêneo A\,x=0).

Passo 2

Calculamos \det A por expansão:
\det A =2\det\begin{pmatrix}2 & -2\\[6pt]h & 1\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix} +h\det\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]-2 & h\end{pmatrix}.
Esses menores valem
\det\begin{pmatrix}2 & -2\h & 1\end{pmatrix} =2\cdot1-(-2)\,h=2+2h, \quad \det\begin{pmatrix}4 & -2\\\ -2 & 1\end{pmatrix} =4\cdot1-(-2)(-2)=0,
\det\begin{pmatrix}4 & 2\\\ -2 & h\end{pmatrix} =4\,h-2(-2)=4h+4.
Logo
\det A =2(2+2h)+h(4h+4) =4+4h+4h^2+4h =4\bigl(h^2+2h+1\bigr) =4(h+1)^2.]

Passo 3

Da expressão \det A=4(h+1)^2 segue que \det A\neq0 exatamente quando
h+1\neq0 \;\Longleftrightarrow\; h\neq -1.
Portanto, F é isomorfismo se, e somente se, h\neq -1.

Passo 4

Agora consideramos o caso h=-1. A matriz fica
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\\\ 4 & 2 & -2\\\\ -2 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
As colunas são \,(2,4,-2), (1,2,-1) e (-1,-2,1).
Note que \,(1,2,-1)=\tfrac12(2,4,-2) e (-1,-2,1)=-(1,2,-1),
logo o espaço das colunas tem dimensão 1. Uma base de \operatorname{Im}F é por exemplo \{(1,2,-1)\}.

Passo 5

Para \ker F resolvemos A(x,y,z)^{T}=0. Das equações
2x+y-z=0,\quad 4x+2y-2z=0,\quad -2x-y+z=0
vê-se que só há uma equação independente, 2x+y-z=0. Logo
z=2x+y,
e um vetor genérico do núcleo é
(x,y,2x+y) =x\,(1,0,2)+y\,(0,1,1).
Assim \ker F tem dimensão 2 e uma base é \{(1,0,2),(0,1,1)\}.

Resposta

(a) F é isomorfismo se, e somente se, h\neq -1.
(b) Quando h=-1: \displaystyle \operatorname{Im}F=\operatorname{span}\{(1,2,-1)\}, \displaystyle \ker F=\operatorname{span}\{(1,0,2),(0,1,1)\}.

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