Exercício 19 Considere o campo
definido em todos os pontos de
.
a) Construa a função potencial para
e conclua que se trata de um campo conservativo em
.
b) Calcule o trabalho realizado pelo campo
para deslocar uma partícula sobre o plano xy do ponto
até
.
a) Construa a função potencial para
b) Calcule o trabalho realizado pelo campo
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
As perguntas são:
a) Construir uma função potencial para e concluir que o campo é conservativo.
b) Calcular o trabalho realizado por ao deslocar uma partícula do ponto
até
.
a) Construir uma função potencial para
b) Calcular o trabalho realizado por
Informações relevantes fornecidas:
- A componente
(na direção ) é . - A componente
(na direção ) é . - Os pontos inicial e final para o cálculo do trabalho são
e . - Observar que as expressões
e não estão definidas em ou ; portanto o campo está definido onde e . As contas abaixo serão feitas em domínios onde as funções fazem sentido (por exemplo no primeiro quadrante onde , que contém os pontos dados).
Passo 2
O que é uma função potencial e como usá-la?
- Uma função
é função potencial de se
- Um campo vetorial é dito conservativo se existe uma função potencial
tal que . Em regiões simplesmente conexas onde as componentes são diferenciáveis, uma verificação prática é checar se as derivadas cruzadas coincidem:
Vamos calcular essas derivadas parciais para ver se há chance de existência de
.
Calcule
. Como
não depende de
,
Calcule
. Como
não depende de
,
Como
na região onde o campo está definido, a condição de igualdade das derivadas cruzadas é satisfeita. Portanto existe uma função potencial localmente (em cada componente conectada do domínio onde
e
); em particular ela existe no primeiro quadrante (onde
), que contém os pontos do item (b). Assim faz sentido procurar
.
Passo 3
Método concreto para encontrar
: integrar
em relação a
e adicionar uma função “constante” que pode depender de
.
Integramos
em relação a
:
onde
é uma função arbitrária de
(pois a derivada em
de
é zero). Logo temos a forma provisória
Passo 4
Determinar
usando a condição
.
Calcule
a partir da forma provisória:
Devemos igualar isso a
. Assim
Integramos agora em relação a
:
onde
é constante real. Observação sobre os sinais:
porque
.
Portanto a função potencial completa é
Passo 5
Verificação direta (para fixar a ideia): calcular
e ver que retorna
.
Calcule
:
Calcule
:
Ambas conferem com as componentes de
. Logo
é de fato uma função potencial. Conclusão sobre conservatividade:
é conservativo nas regiões onde está definida (por exemplo no primeiro quadrante). A função potencial encontrada prova isso.
Passo 6
Calcular o trabalho do item (b). Para um campo conservativo o trabalho entre dois pontos independe do caminho e é dado pela diferença da função potencial:
Usamos a expressão de
sem a constante
(ela cancela na diferença). Primeiro avalie
:
já que
e
.
Agora avalie
:
Subtraindo,
Essa é a expressão final do trabalho; é um número real explícito (não simplifica muito mais sem aproximar numericamente).
Resposta
a)
. Logo
é conservativo nas regiões onde está definida (por exemplo no primeiro quadrante).
b)