Exercício 19.2.1. Encontre uma base de autovetores para os operadores a seguir
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por T(x, y)=(x, y)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base de autovetores do operador linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y)=(x,y).
O conteúdo aqui é autovalor/autovetor de um operador linear: temos que resolver
T(v)=\lambda\,v
e achar vetores não nulos v que satisfaçam essa igualdade.

Passo 2

Escrevendo v=(x,y), a equação T(x,y)=\lambda\,(x,y) fica
(x,y)=(\lambda x,\lambda y),
ou seja
(1-\lambda)x=0, \quad (1-\lambda)y=0.
Para existir vetor não nulo (x,y)\neq(0,0), é preciso 1-\lambda=0, logo
\lambda=1.
Assim 1 é o único autovalor, e o subespaço próprio associado é
E_1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid T(x,y)=1\cdot(x,y)\}=\mathbb{R}^2.

Passo 3

Como o espaço próprio é todo \mathbb{R}^2, qualquer base de \mathbb{R}^2 é uma base de autovetores de T. A escolha mais simples é a base canônica:
e_1=(1,0), \quad e_2=(0,1).

Resposta

Uma base de autovetores de T é
\{(1,0),\,(0,1)\},
com autovalor \lambda=1 para cada vetor.

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