Exercício 18.0.2. Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo necessário é cálculo de polinômio característico, isto é resolver \det(A - \lambda I)=0, e em seguida resolver (A - \lambda I)v=0 para cada autovalor \lambda.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A por expansão de determinante:
\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 & 2\\\\ 1 & 2-\lambda & 1\\\\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix}.
Expandindo pela primeira linha,
\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)\bigl((2-\lambda)^2 - 1\bigr) -1\bigl(1\cdot(2-\lambda) - 1\cdot1\bigr) +2\bigl(1\cdot1 - (2-\lambda)\cdot1\bigr).
Agora simplificamos cada termo:
(2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3,\quad 1\cdot(2-\lambda) -1 = 1-\lambda,\quad 1 - (2-\lambda) = \lambda-1.
Logo
\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)(\lambda^2 -4\lambda +3) - (1-\lambda) +2(\lambda-1).
Desenvolvendo e coletando termos, chega-se a
\det(A - \lambda I) = -\lambda(\lambda-1)(\lambda-4).

Passo 3

Igualando o polinômio a zero, obtemos os autovalores
-\lambda(\lambda-1)(\lambda-4)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 0,\;1,\;4.

Passo 4

Para \lambda=0\), resolvemos \(A v = 0\). O sistema é \[\begin{cases} x + y +2z = 0,\\\ x +2y+ z = 0,\\\ x + y +2z = 0. \end{cases}
As equações primeira e terceira coincidem. Subtraindo a segunda da primeira: -y+z=0\implies z=y\]. Então da primeira vem \(x+3y=0\implies x=-3y. Com parâmetro y=t, um vetor próprio é
v_0 = t\,(-3,1,1).

Passo 5

Para \lambda=1, resolvemos (A - I)v=0, isto é
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = 0.
Da primeira linha: y+2z=0\implies y=-2z. Da segunda: x+y+z=0\implies x = -y - z. Substituindo y=-2z x=z. Com parâmetro z=s, um vetor próprio é
v_1 = s\,(1,-2,1).

Passo 6

Para \lambda=4, resolvemos (A - 4I)v=0:
\begin{pmatrix} -3 & 1 & 2\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = 0.
Da segunda linha: x -2y + z=0\implies x=2y - z. Da primeira: -3x+y+2z=0. Substituindo x -3(2y-z)+y+2z=0\implies -5y+5z=0\implies y=z. Então x=2z-z=z. A terceira é satisfeita automaticamente. Com parâmetro z=t, um vetor próprio é
v_4 = t\,(1,1,1).

Resposta

Autovalores e autovetores de A:
\lambda=0, vetor próprio any multiple of (-3,1,1).
\lambda=1, vetor próprio any multiple of (1,-2,1).
\lambda=4, vetor próprio any multiple of (1,1,1).

Exercícios relacionados