O conteúdo necessário é cálculo de polinômio característico, isto é resolver \det(A - \lambda I)=0, e em seguida resolver (A - \lambda I)v=0 para cada autovalor \lambda.
Passo 2
Vamos calcular o polinômio característico de A por expansão de determinante:
Para \lambda=0\), resolvemos \(A v = 0\). O sistema é
\[\begin{cases} x + y +2z = 0,\\\ x +2y+ z = 0,\\\ x + y +2z = 0. \end{cases}
As equações primeira e terceira coincidem. Subtraindo a segunda da primeira: -y+z=0\implies z=y\]. Então da primeira vem \(x+3y=0\implies x=-3y. Com parâmetro y=t, um vetor próprio é
Da segunda linha: x -2y + z=0\implies x=2y - z. Da primeira: -3x+y+2z=0. Substituindo x dá -3(2y-z)+y+2z=0\implies -5y+5z=0\implies y=z. Então x=2z-z=z. A terceira é satisfeita automaticamente. Com parâmetro z=t, um vetor próprio é
v_4 = t\,(1,1,1).
Resposta
Autovalores e autovetores de A:
\lambda=0, vetor próprio any multiple of (-3,1,1). \lambda=1, vetor próprio any multiple of (1,-2,1). \lambda=4, vetor próprio any multiple of (1,1,1).