Exercício 18.0.2. Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo é álgebra linear: usamos o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0 para achar os autovalores \lambda e, em seguida, resolvemos (A - \lambda I)v=0 para os autovetores v.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
\det(A - \lambda I) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 2\\\\ 1 & 2-\lambda & 1\\\\ 2 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Fazendo a expansão e simplificando, obtemos
\det(A - \lambda I) =-\lambda^3 +4\lambda^2 +\lambda -4 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^3 -4\lambda^2 -\lambda +4 =0.
Fatorando,
\lambda^3 -4\lambda^2 -\lambda +4 =(\lambda-4)(\lambda^2-1) =(\lambda-4)(\lambda-1)(\lambda+1).
Assim, os autovalores são
\lambda_1=4,\quad \lambda_2=1,\quad \lambda_3=-1.

Passo 3

Para \lambda_1=4, resolvemos
(A-4I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} -3 & 1 & 2\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Das equações segue y=3x-2z e z=x, então y=x. Um autovetor associado é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \lambda_2=1, resolvemos
(A-I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Das equações obtemos y=-2z e x=z. Um autovetor associado é
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda_3=-1, resolvemos
(A+I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\\\ 1 & 3 & 1\\\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Dessa vez y= -2x -2z e x=-z, o que força y=0. Um autovetor associado é
v_3 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.

Resposta

Os autovalores e autovetores (não normalizados) de A são:
\lambda_1=4,\quad v_1=(1,1,1)^T;
\lambda_2=1,\quad v_2=(1,-2,1)^T;
\lambda_3=-1,\quad v_3=(1,0,-1)^T.

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