Exercício 19.2.1. Encontre uma base de autovetores para os operadores a seguir T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z)=(x, y, x+z)
e pede uma base de autovetores. Para isso, vamos achar primeiro os autovalores resolvendo o polinômio característico de T, depois calcular o espaço próprio associado a cada autovalor.
Passo 2
Escolhendo a base canônica \{e_1,e_2,e_3\} de \mathbb{R}^3, a matriz de T é
O autovalor \lambda=1 tem multiplicidade geométrica 2 (dimensão de E_1), que é menor que a multiplicidade algébrica 3. Isso significa que não existe base completa de \mathbb{R}^3 formada só por autovetores de T, ou seja, T não é diagonalizável.
Resposta
Uma base do espaço próprio de T é
\{(0,1,0),\,(0,0,1)\}.
Não há três autovetores linearmente independentes, logo T não é diagonalizável.