Exercício 21.2.3. Para todo número natural
, prove que a norma do vetor
é um número natural inteiro.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, a norma do vetor
é um número natural. O conteúdo envolvido é norma em
e fatoração de polinômio para reconhecer quadrado perfeito.
Passo 2
Pela definição de norma em
, temos
Para ver se isso é natural, primeiro calculamos o quadrado da norma:
Passo 3
Expandindo termo a termo:
Logo,
Passo 4
Reconhecemos que o polinômio obtido é um quadrado perfeito, pois
Portanto
Passo 5
Tomando a raiz quadrada (sempre positiva) em ambos os lados, concluímos
que é claramente um número natural.