Exercício 21.2.3. Para todo número natural n, prove que a norma do vetor v= (n, n+1, n(n+1)) é um número natural inteiro.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N}, a norma do vetor
v = (n,\;n+1,\;n(n+1))
é um número natural. O conteúdo envolvido é norma em \mathbb{R}^3 e fatoração de polinômio para reconhecer quadrado perfeito.

Passo 2

Pela definição de norma em \mathbb{R}^3, temos
\|v\| = \sqrt{n^2 + (n+1)^2 + \bigl(n(n+1)\bigr)^2}.
Para ver se isso é natural, primeiro calculamos o quadrado da norma:
\|v\|^2 = n^2 + (n+1)^2 + n^2(n+1)^2.

Passo 3

Expandindo termo a termo:
(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1, \quad n^2(n+1)^2 = n^2(n^2 + 2n + 1) = n^4 + 2n^3 + n^2.
Logo,
\|v\|^2 = n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^4 + 2n^3 + n^2) = n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1.

Passo 4

Reconhecemos que o polinômio obtido é um quadrado perfeito, pois
(n^2 + n + 1)^2 = n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1.
Portanto
\|v\|^2 = (n^2 + n + 1)^2.

Passo 5

Tomando a raiz quadrada (sempre positiva) em ambos os lados, concluímos
\|v\| = n^2 + n + 1,
que é claramente um número natural.

Resposta

\|v\| = n^2 + n + 1, um número natural.

Exercícios relacionados