Exercício 19. Encontre os escalares a, b e c que satisfaçam a expressão a u+b v+c w=(0,1,4). Sabendo que u=(1,4,0), v=(0,-1,2) e w=(3,1,4).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar escalares a, b e c tais que
au+bv+cw=(0,1,4),
sendo u=(1,4,0), v=(0,-1,2) e w=(3,1,4).
O conteúdo aqui é resolver um sistema linear em três incógnitas, usando igualdade de componentes de vetores.

Passo 2

Igualando componente a componente de
a(1,4,0)+b(0,-1,2)+c(3,1,4)=(0,1,4)
obtemos o sistema
a + 3c = 0, 4a - b + c = 1, 2b + 4c = 4

Passo 3

Da primeira equação isolamos a:
a + 3c = 0 Longrightarrow a = -3c

Passo 4

Substituímos a=-3c na segunda equação para relacionar b e c:
4(-3c) - b + c = 1 Longrightarrow -12c - b + c = 1 Longrightarrow -b - 11c = 1 Longrightarrow b = -1 - 11c

Passo 5

Substituímos b=-1-11c na terceira equação para encontrar c:
2(-1 - 11c) + 4c = 4 Longrightarrow -2 -22c + 4c = 4 Longrightarrow -2 -18c = 4 Longrightarrow -18c = 6 Longrightarrow c = -tfrac13

Passo 6

Com c=-tfrac13 voltamos a calcular a e b:
a = -3c = -3l(-tfrac13r) = 1, b = -1 - 11c = -1 - 11l(-tfrac13r) = -1 + tfrac113 = tfrac83

Resposta

a = 1, b = tfrac83, c = -tfrac13.

Exercícios relacionados