Exercício 19 Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
Passo 1
O enunciado dá a integral iterada
e pede duas coisas:
- Inverter a ordem de integração (ou seja, escrever a integral como
). - Calcular a área da região de integração no plano
.
Informações relevantes fornecidas:
- A variável
varia entre e : . - Para cada
, a variável varia de até : . - A função
é arbitrária (não precisamos de sua forma para inverter os limites nem para achar a área).
Passo 2
Vamos entender a região
do plano determinada pelas desigualdades. Reescrevendo:
As curvas que limitam
são as retas
e
, e as retas verticais
e
. Vamos identificar os vértices da região encontrando as interseções:
- Para
: vai de até . Pontos e . - Para
: vai de até . Pontos e .
Portanto os vértices que descrevem a região são. É um paralelogramo (reta e reta paralela entre e ).
Passo 3
Determinar a projeção da região no eixo
para saber o intervalo global de
. Observando os vértices,
vai do menor valor
(em
) ao maior valor
(em
). Logo
Passo 4
Para inverter a ordem, para cada
fixo precisamos achar quais
satisfazem as desigualdades. Das desigualdades originais:
A segunda inequação é equivalente a
. Juntando com
, obtemos que, para um dado
,
Em palavras: o intervalo para
é a interseção do intervalo
(vindo das retas) com o intervalo
(vindo da restrição original em
).
Passo 5
Como a interseção depende de
, é conveniente dividir o intervalo de
em partes onde a interseção se simplifica. Os pontos críticos são onde
(ou seja
) e onde
. Assim, separamos em três casos:
-
Para
: aqui , então . Portanto, quando temos . -
Para
: aqui e , então . Portanto, quando temos . -
Para
: aqui e , então (porque força o limite superior a ser ). Portanto, quando temos .
Esses três pedaços cobrem todo o intervalo
sem sobreposição excessiva.
Passo 6
Agora escrevemos a integral invertida usando a divisão em três intervalos de
. Substituindo os limites encontrados:
Alternativamente, se quiser escrever sem quebrar em três integrais, pode usar a forma com máximo e mínimo:
Ambas as formas são equivalentes; a forma em três integrais é a mais prática para cálculo explícito, porque os limites de
ficam simples em cada intervalo.
Passo 7
Calcular a área da região
. A área é a integral de
sobre
. Usando a integral original:
Primeiro integramos em
:
Agora integramos em
:
Logo a área da região é
.
Resposta
Área