Exercício 19 Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
\int_{0}^{1}\left[\int_{x}^{x+3} f(x, y) d y\right] d x

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{0}^{1}\left[\int_{x}^{x+3} f(x,y)\,dy\right]dx
e pede duas coisas:
  • Inverter a ordem de integração (ou seja, escrever a integral como \displaystyle \int_{y=\text{?}}^{\text{?}}\!\!\left[\int_{x=\text{?}}^{\text{?}} f(x,y)\,dx\right]dy).
  • Calcular a área da região de integração no plano (x,y).
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável x varia entre 0 e 1: 0\le x\le 1.
  • Para cada x, a variável y varia de y=x até y=x+3: x\le y\le x+3.
  • A função f(x,y) é arbitrária (não precisamos de sua forma para inverter os limites nem para achar a área).

Passo 2

Vamos entender a região R do plano determinada pelas desigualdades. Reescrevendo:
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\; x\le y\le x+3\}.
As curvas que limitam R são as retas y=x e y=x+3, e as retas verticais x=0 e x=1. Vamos identificar os vértices da região encontrando as interseções:
  • Para x=0: y vai de 0 até 3. Pontos (0,0) e (0,3).
  • Para x=1: y vai de 1 até 4. Pontos (1,1) e (1,4).
    Portanto os vértices que descrevem a região são (0,0),(0,3),(1,4),(1,1). É um paralelogramo (reta y=x e reta paralela y=x+3 entre x=0 e x=1).

Passo 3

Determinar a projeção da região no eixo y para saber o intervalo global de y. Observando os vértices, y vai do menor valor 0 (em (0,0)) ao maior valor 4 (em (1,4)). Logo
0\le y\le 4.

Passo 4

Para inverter a ordem, para cada y fixo precisamos achar quais x satisfazem as desigualdades. Das desigualdades originais:
x\le y\quad\text{e}\quad y\le x+3.
A segunda inequação é equivalente a x\ge y-3. Juntando com 0\le x\le 1, obtemos que, para um dado y,
x \in [\,y-3,\;y\,]\cap[\,0,\;1\,].
Em palavras: o intervalo para x é a interseção do intervalo [y-3,y] (vindo das retas) com o intervalo [0,1] (vindo da restrição original em x).

Passo 5

Como a interseção depende de y, é conveniente dividir o intervalo de y em partes onde a interseção se simplifica. Os pontos críticos são onde y-3=0 (ou seja y=3) e onde y=1. Assim, separamos em três casos:
  1. Para 0\le y\le 1: aqui y-3\le -2<0, então [y-3,y]\cap[0,1]=[0,y]. Portanto, quando y\in[0,1] temos 0\le x\le y.
  2. Para 1\le y\le 3: aqui y\ge1 e y-3\le0, então [y-3,y]\cap[0,1]=[0,1]. Portanto, quando y\in[1,3] temos 0\le x\le 1.
  3. Para 3\le y\le 4: aqui y-3\ge0 e y\ge1, então [y-3,y]\cap[0,1]=[y-3,1] (porque y\ge1 força o limite superior a ser \min(1,y)=1). Portanto, quando y\in[3,4] temos y-3\le x\le 1.
Esses três pedaços cobrem todo o intervalo y\in[0,4] sem sobreposição excessiva.

Passo 6

Agora escrevemos a integral invertida usando a divisão em três intervalos de y. Substituindo os limites encontrados:
\int_{0}^{1}\left[\int_{x}^{x+3} f(x,y)\,dy\right]dx = \int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{y} f(x,y)\,dx\right]dy + \int_{1}^{3}\left[\int_{0}^{1} f(x,y)\,dx\right]dy + \int_{3}^{4}\left[\int_{y-3}^{1} f(x,y)\,dx\right]dy.
Alternativamente, se quiser escrever sem quebrar em três integrais, pode usar a forma com máximo e mínimo:
\int_{0}^{4}\left[\int_{\max(0,y-3)}^{\min(1,y)} f(x,y)\,dx\right]dy.
Ambas as formas são equivalentes; a forma em três integrais é a mais prática para cálculo explícito, porque os limites de x ficam simples em cada intervalo.

Passo 7

Calcular a área da região R. A área é a integral de 1 sobre R. Usando a integral original:
\text{Área}(R)=\int_{0}^{1}\left[\int_{x}^{x+3} 1 \,dy\right]dx.Á
Primeiro integramos em y:
\int_{x}^{x+3}1\,dy = (x+3)-x = 3.
Agora integramos em x:
\text{Área}(R)=\int_{0}^{1} 3\,dx = 3\cdot(1-0)=3.Á
Logo a área da região é 3.

Resposta

\int_{0}^{1}\left[\int_{x}^{x+3} f(x,y)\,dy\right]dx = \int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{y} f(x,y)\,dx\right]dy + \int_{1}^{3}\left[\int_{0}^{1} f(x,y)\,dx\right]dy + \int_{3}^{4}\left[\int_{y-3}^{1} f(x,y)\,dx\right]dy
Área =3

Exercícios relacionados