Exercício 20 Calcule o volume dos sólidos dados.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o volume do sólido
definido por
Informações relevantes fornecidas:
- As coordenadas
e variam independentemente em . - Para cada par
nessa placa, varia de até . - O que se pede: o volume do sólido
.
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): volume de um sólido descrito por desigualdades em coordenadas cartesianas é dado pela integral tripla da função constante
sobre a região. Em notação,
onde
representa um elemento de volume (na prática,
quando usamos integrais iteradas). A justificativa teórica vem do teorema de Fubini: se a região e a função forem adequadas, a integral tripla pode ser calculada como uma integral iterada com as variáveis em qualquer ordem, usando os limites apropriados.
Passo 3
Como a região
já está dada com limites explícitos em ordem
, montamos a integral iterada diretamente:
Explicação das partes: os limites de
são
a
; para cada
, os limites de
são
a
; para cada par
, os limites de
são
a
.
Passo 4
Calcular a integral interior (em
). Integrar a constante
em relação a
significa simplesmente subtrair os limites:
Portanto a integral tripla reduz-se à integral dupla
Passo 5
Separar a integral dupla em duas partes (linearidade da integral):
Interpretação: a segunda integral é simplesmente a área da base no plano
, e a primeira envolve a exponencial.
Passo 6
Calcular a segunda integral (a mais simples):
Passo 7
Calcular a primeira integral usando a propriedade da exponencial
. Então a integral dupla fatoriza:
Agora calcular cada integral unidimensional:
Então
Passo 8
Juntar os resultados das partes:
Opcionalmente expandindo para checar:
Ambas as formas são equivalentes; a forma
é mais compacta e explícita.
Passo 9
Verificação rápida (sintonia física): o valor é positivo? Sim, pois
dá
, o que faz sentido para um volume.