Exercício 20 Calcule o volume dos sólidos dados.
S=\left\{(x, y, z): 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1,1 \leq z \leq 2 e^{x+y}\right\}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume do sólido S definido por
S=\{(x,y,z): 0 \leq x \leq 1,\; 0 \leq y \leq 1,\; 1 \leq z \leq 2e^{x+y}\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • As coordenadas x e y variam independentemente em [0,1].
  • Para cada par (x,y) nessa placa, z varia de 1 até 2e^{x+y}.
  • O que se pede: o volume do sólido S.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): volume de um sólido descrito por desigualdades em coordenadas cartesianas é dado pela integral tripla da função constante 1 sobre a região. Em notação,
\text{Volume}(S)=\iiint_{S} 1\,dV,
onde dV representa um elemento de volume (na prática, dV=dz\,dy\,dx quando usamos integrais iteradas). A justificativa teórica vem do teorema de Fubini: se a região e a função forem adequadas, a integral tripla pode ser calculada como uma integral iterada com as variáveis em qualquer ordem, usando os limites apropriados.

Passo 3

Como a região S já está dada com limites explícitos em ordem x,y,z, montamos a integral iterada diretamente:
\text{Volume}(S)=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1}\int_{z=1}^{2e^{x+y}} 1\,dz\,dy\,dx.
Explicação das partes: os limites de x são 0 a 1; para cada x, os limites de y são 0 a 1; para cada par (x,y), os limites de z são 1 a 2e^{x+y}.

Passo 4

Calcular a integral interior (em z). Integrar a constante 1 em relação a z significa simplesmente subtrair os limites:
\int_{z=1}^{2e^{x+y}} 1\,dz = \bigl[z\bigr]_{1}^{2e^{x+y}} = 2e^{x+y}-1.
Portanto a integral tripla reduz-se à integral dupla
\text{Volume}(S)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\bigl(2e^{x+y}-1\bigr)\,dy\,dx.

Passo 5

Separar a integral dupla em duas partes (linearidade da integral):
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\bigl(2e^{x+y}-1\bigr)\,dy\,dx =2\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e^{x+y}\,dy\,dx -\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 1\,dy\,dx.
Interpretação: a segunda integral é simplesmente a área da base no plano xy, e a primeira envolve a exponencial.

Passo 6

Calcular a segunda integral (a mais simples):
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 1\,dy\,dx = \text{(área do quadrado)} = 1\cdot 1 = 1.á

Passo 7

Calcular a primeira integral usando a propriedade da exponencial e^{x+y}=e^{x}e^{y}. Então a integral dupla fatoriza:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e^{x+y}\,dy\,dx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e^{x}e^{y}\,dy\,dx = \left(\int_{0}^{1} e^{x}\,dx\right)\left(\int_{0}^{1} e^{y}\,dy\right).
Agora calcular cada integral unidimensional:
\int_{0}^{1} e^{t}\,dt = \bigl[e^{t}\bigr]_{0}^{1} = e-1.
Então
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} e^{x+y}\,dy\,dx = (e-1)(e-1) = (e-1)^{2}.

Passo 8

Juntar os resultados das partes:
\text{Volume}(S)=2\cdot (e-1)^{2} - 1.
Opcionalmente expandindo para checar:
2(e-1)^{2}-1 = 2(e^{2}-2e+1)-1 = 2e^{2}-4e+1.
Ambas as formas são equivalentes; a forma 2(e-1)^{2}-1 é mais compacta e explícita.

Passo 9

Verificação rápida (sintonia física): o valor é positivo? Sim, pois e\approx2{,}718 2(e-1)^{2}-1>0, o que faz sentido para um volume.

Resposta

2(e-1)^{2}-1

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