Exercício 24 Considere a região formada pelos pontos que estão fora da circunferência (x-1)^{2}+y^{2}= 1 e dentro da cardióide r=1+\cos (\theta).
a) Faça a representação gráfica da região descrita e escreva a curva que descreve a cardióide na forma \alpha(\theta)=(x(\theta), y(\theta)), com \theta \in[0,2 \pi].
b) Use coordenadas polares com pólo em ( 0,0 ), para calcular a área da região descrita.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Fazer a representação gráfica da região descrita e escrever a curva que descreve a cardióide na forma \alpha(\theta)=(x(\theta),y(\theta)), com \theta\in[0,2\pi].
(b) Usar coordenadas polares com pólo em (0,0) para calcular a área da região formada pelos pontos que estão fora da circunferência (x-1)^2+y^2=1 e dentro da cardióide r=1+\cos\theta.
Informações dadas:
A cardióide em coordenadas polares (com pólo na origem) é \;r=1+\cos\theta\;,\;\theta\in[0,2\pi].
A circunferência é dada em coordenadas cartesianas por \;(x-1)^2+y^2=1.
O objetivo é representar a cardióide parametrizada, identificar a relação entre a circunferência e a cardióide em coordenadas polares (para poder comparar raios na mesma direção \theta) e calcular a área da região: pontos com r tal que estão dentro da cardióide e fora da circunferência.
Passo 2
Passo útil: escrever a circunferência em coordenadas polares (já que a cardióide está em polares). Usamos as relações polares usuais \;x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta.
Daí as soluções polares relevantes (com r\ge0) são
r = 0 \quad\text{ou}\quad r = 2\cos\theta.
Portanto, a circunferência pode ser descrita pela equação polar
r = 2\cos\theta,
mantendo em mente que r\ge0 corresponde aos \theta com \cos\theta\ge0 (ou seja, \theta próximo de 0). (A solução r=0 corresponde ao ponto origem, que de fato pertence à circunferência.)
Explicação didática curta: a transformação para polares troca a equação centrada em (1,0) por uma equação simples em r e \theta: isso facilita comparar, ao longo de cada raio de ângulo \theta, qual curva dá maior r.
Passo 3
Encontrar interseções entre cardióide r=1+\cos\theta e circunferência em polares r=2\cos\theta.
Isso dá um ponto de interseção com r=2 em \theta=0, ou seja o ponto (2,0).
Além disso, a cardióide possui cusp em r=0 quando \theta=\pi (origem). A circunferência também passa pela origem (verifique em coordenadas cartesianas: (0-1)^2+0=1), logo a origem (0,0) é outro ponto comum das duas curvas (mesmo que nas equações polares o parâmetro \theta que dá r=0 difira; geometricamente é a mesma coordenada). Assim as duas curvas se encontram em (0,0) e em (2,0).
Resumo das interseções (coordenadas cartesianas):
(0,0) (origin) — cusp da cardióide e ponto da circunferência.
(2,0) — ponto à direita onde as duas curvas se encontram.
Passo 4
Escrever a cardióide na forma paramétrica \alpha(\theta)=(x(\theta),y(\theta)).
Em coordenadas polares r=1+\cos\theta. Passando para cartesianas pela regra x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta, obtemos:
Descrição gráfica (curta e prática): a cardióide tem cusp na origem (para \theta=\pi) e se abre para a direita até (2,0); é simétrica em relação ao eixo x. A circunferência centrada em (1,0) com raio 1 passa pela origem e por (2,0). A região pedida é a parte do interior da cardióide que fica fora da circunferência — em termos de raio ao longo de cada direção \theta: para certas direções o raio da circunferência intercepta antes do raio da cardióide, então o “buraco” central corresponde ao interior da circunferência naquelas direções.
Passo 5
Preparar a integral de área em coordenadas polares.
Fórmula básica: a área de uma região dada por curvas radiais entre \theta=a e \theta=b com raio externo r_{\text{out}}(\theta) e raio interno r_{\text{in}}(\theta) é
O raio interno é o da circunferência r=2\cos\theta somente nas direções onde esse valor é não-negativo (isto é, quando a reta radial intercepta a circunferência em r\ge0). Geometricamente, a equação r=2\cos\theta fornece um r\ge0 exatamente quando \cos\theta\ge0, isto é para
Nessas direções o segmento desde r=0 até r=2\cos\theta está dentro da circunferência, logo a parte que queremos (fora da circunferência) começa em r=2\cos\theta. Para as outras direções \theta\in(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}), a reta radial não atravessa a circunferência para r\ge0, então o limite interno é r=0.
Observação prática: sempre comparar os raios ao longo de cada direção \theta — isso diz onde começa e termina a região a ser integrada.
Passo 6
Montar a integral, usando simetria para simplificar.
Como o problema é periódico em 2\pi e simétrico em relação ao eixo x, convém dividir a integral em intervalos onde o limite interno é diferente. Usando a observação do passo anterior:
Interpretação final curta: a área da região que está dentro da cardióide r=1+\cos\theta e fora da circunferência (x-1)^2+y^2=1 é \dfrac{\pi}{2}.
Resposta
(a) \displaystyle \alpha(\theta)=\bigl((1+\cos\theta)\cos\theta,\;(1+\cos\theta)\sin\theta\bigr),\\ \theta\in[0,2\pi].
Gráfico: cardióide com cusp em (0,0) e ponto direito em (2,0); circunferência centrada em (1,0) com raio 1 passa por (0,0) e (2,0).
(b) \displaystyle \text{Área}=\frac{\pi}{2}Á.