Exercício 24 Considere a região formada pelos pontos que estão fora da circunferência (x-1)^{2}+y^{2}= 1 e dentro da cardióide r=1+\cos (\theta).
a) Faça a representação gráfica da região descrita e escreva a curva que descreve a cardióide na forma \alpha(\theta)=(x(\theta), y(\theta)), com \theta \in[0,2 \pi].
b) Use coordenadas polares com pólo em ( 0,0 ), para calcular a área da região descrita.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Fazer a representação gráfica da região descrita e escrever a curva que descreve a cardióide na forma \alpha(\theta)=(x(\theta),y(\theta)), com \theta\in[0,2\pi].
  • (b) Usar coordenadas polares com pólo em (0,0) para calcular a área da região formada pelos pontos que estão fora da circunferência (x-1)^2+y^2=1 e dentro da cardióide r=1+\cos\theta.
Informações dadas:
  • A cardióide em coordenadas polares (com pólo na origem) é \;r=1+\cos\theta\;,\;\theta\in[0,2\pi].
  • A circunferência é dada em coordenadas cartesianas por \;(x-1)^2+y^2=1.
O objetivo é representar a cardióide parametrizada, identificar a relação entre a circunferência e a cardióide em coordenadas polares (para poder comparar raios na mesma direção \theta) e calcular a área da região: pontos com r tal que estão dentro da cardióide e fora da circunferência.

Passo 2

Passo útil: escrever a circunferência em coordenadas polares (já que a cardióide está em polares). Usamos as relações polares usuais \;x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta.
Substituindo na equação da circunferência:
(x-1)^2+y^2 = 1
(r\cos\theta - 1)^2 + (r\sin\theta)^2 = 1.
Expandindo:
r^2\cos^2\theta - 2r\cos\theta + 1 + r^2\sin^2\theta = 1.
Como \cos^2\theta+\sin^2\theta=1, temos
r^2 - 2r\cos\theta + 1 = 1 \quad\Rightarrow\quad r^2 - 2r\cos\theta = 0.
Fatorando:
r(r - 2\cos\theta)=0.
Daí as soluções polares relevantes (com r\ge0) são
r = 0 \quad\text{ou}\quad r = 2\cos\theta.
Portanto, a circunferência pode ser descrita pela equação polar
r = 2\cos\theta,
mantendo em mente que r\ge0 corresponde aos \theta com \cos\theta\ge0 (ou seja, \theta próximo de 0). (A solução r=0 corresponde ao ponto origem, que de fato pertence à circunferência.)
Explicação didática curta: a transformação para polares troca a equação centrada em (1,0) por uma equação simples em r e \theta: isso facilita comparar, ao longo de cada raio de ângulo \theta, qual curva dá maior r.

Passo 3

Encontrar interseções entre cardióide r=1+\cos\theta e circunferência em polares r=2\cos\theta.
Igualando as expressões:
1+\cos\theta = 2\cos\theta \quad\Rightarrow\quad 1 = \cos\theta \quad\Rightarrow\quad \theta = 0\\ (\text{mod }2\pi).
Isso dá um ponto de interseção com r=2 em \theta=0, ou seja o ponto (2,0).
Além disso, a cardióide possui cusp em r=0 quando \theta=\pi (origem). A circunferência também passa pela origem (verifique em coordenadas cartesianas: (0-1)^2+0=1), logo a origem (0,0) é outro ponto comum das duas curvas (mesmo que nas equações polares o parâmetro \theta que dá r=0 difira; geometricamente é a mesma coordenada). Assim as duas curvas se encontram em (0,0) e em (2,0).
Resumo das interseções (coordenadas cartesianas):
  • (0,0) (origin) — cusp da cardióide e ponto da circunferência.
  • (2,0) — ponto à direita onde as duas curvas se encontram.

Passo 4

Escrever a cardióide na forma paramétrica \alpha(\theta)=(x(\theta),y(\theta)).
Em coordenadas polares r=1+\cos\theta. Passando para cartesianas pela regra x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta, obtemos:
\alpha(\theta) = \bigl(x(\theta),y(\theta)\bigr) = \bigl( (1+\cos\theta)\cos\theta,\; (1+\cos\theta)\sin\theta \bigr), \qquad \theta\in[0,2\pi].
Podemos também expandir caso queira:
x(\theta)=\cos\theta+\cos^2\theta,\qquad y(\theta)=\sin\theta+\sin\theta\cos\theta.
Pontos notáveis (úteis ao desenhar):
  • \theta=0: r=2 → ponto (2,0).
  • \theta=\tfrac{\pi}{2}: r=1 → ponto (0,1).
  • \theta=\pi: r=0 → origem (0,0) (cusp).
  • \theta=\tfrac{3\pi}{2}: r=1 → ponto (0,-1).
Descrição gráfica (curta e prática): a cardióide tem cusp na origem (para \theta=\pi) e se abre para a direita até (2,0); é simétrica em relação ao eixo x. A circunferência centrada em (1,0) com raio 1 passa pela origem e por (2,0). A região pedida é a parte do interior da cardióide que fica fora da circunferência — em termos de raio ao longo de cada direção \theta: para certas direções o raio da circunferência intercepta antes do raio da cardióide, então o “buraco” central corresponde ao interior da circunferência naquelas direções.

Passo 5

Preparar a integral de área em coordenadas polares.
Fórmula básica: a área de uma região dada por curvas radiais entre \theta=a e \theta=b com raio externo r_{\text{out}}(\theta) e raio interno r_{\text{in}}(\theta) é
\text{Área} = \frac{1}{2}\int_{a}^{b}\Bigl(r_{\text{out}}(\theta)^2 - r_{\text{in}}(\theta)^2\Bigr)\,d\theta.Á
No nosso caso o raio externo sempre é da cardióide:
r_{\text{out}}(\theta)=r_{\text{card}}(\theta)=1+\cos\theta.
O raio interno é o da circunferência r=2\cos\theta somente nas direções onde esse valor é não-negativo (isto é, quando a reta radial intercepta a circunferência em r\ge0). Geometricamente, a equação r=2\cos\theta fornece um r\ge0 exatamente quando \cos\theta\ge0, isto é para
\theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]\cup[\tfrac{3\pi}{2},2\pi].
Nessas direções o segmento desde r=0 até r=2\cos\theta está dentro da circunferência, logo a parte que queremos (fora da circunferência) começa em r=2\cos\theta. Para as outras direções \theta\in(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}), a reta radial não atravessa a circunferência para r\ge0, então o limite interno é r=0.
Observação prática: sempre comparar os raios ao longo de cada direção \theta — isso diz onde começa e termina a região a ser integrada.

Passo 6

Montar a integral, usando simetria para simplificar.
Como o problema é periódico em 2\pi e simétrico em relação ao eixo x, convém dividir a integral em intervalos onde o limite interno é diferente. Usando a observação do passo anterior:
\text{Área} = \frac{1}{2}\Biggl[ \int_{0}^{\pi/2}\Bigl( (1+\cos\theta)^2 - (2\cos\theta)^2\Bigr)d\theta \;+\; \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (1+\cos\theta)^2\,d\theta \;+\; \int_{3\pi/2}^{2\pi}\Bigl( (1+\cos\theta)^2 - (2\cos\theta)^2\Bigr)d\theta \Biggr].Á
Como os intervalos [0,\pi/2] e [3\pi/2,2\pi] são simétricos e os integrandos idênticos ali, podemos escrever
\text{Área} = \frac{1}{2}\Biggl[ 2\int_{0}^{\pi/2}\Bigl((1+\cos\theta)^2 - (2\cos\theta)^2\Bigr)d\theta \;+\; \int_{\pi/2}^{3\pi/2}(1+\cos\theta)^2\,d\theta \Biggr].Á
Simplificar os quadrados:
(1+\cos\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta, \qquad (2\cos\theta)^2 = 4\cos^2\theta.
Então a diferença é
(1+\cos\theta)^2 - (2\cos\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta - 3\cos^2\theta.

Passo 7

Calcular as integrais explicitamente. Usar a identidade \cos^2\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2} para facilitar integrações.
Definir
I_1=\int_{0}^{\pi/2}\bigl(1+2\cos\theta-3\cos^2\theta\bigr)d\theta, \qquad I_2=\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\bigl(1+2\cos\theta+\cos^2\theta\bigr)d\theta.
Calcule I_1. Substituir \cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}:
1+2\cos\theta-3\cos^2\theta = 1+2\cos\theta - \frac{3}{2}(1+\cos2\theta) = -\tfrac{1}{2} + 2\cos\theta - \tfrac{3}{2}\cos2\theta.
Integrando termo a termo:
I_1 = \int_{0}^{\pi/2}\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)\,d\theta + \int_{0}^{\pi/2} 2\cos\theta\,d\theta + \int_{0}^{\pi/2}\Bigl(-\tfrac{3}{2}\cos2\theta\Bigr)\,d\theta.
Calculando cada parte:
\int_{0}^{\pi/2}\Bigl(-\tfrac{1}{2}\Bigr)d\theta = -\tfrac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = -\tfrac{\pi}{4},
\int_{0}^{\pi/2}2\cos\theta\,d\theta = 2\sin\theta\Big|_{0}^{\pi/2} = 2(1-0)=2,
\int_{0}^{\pi/2}\Bigl(-\tfrac{3}{2}\cos2\theta\Bigr)d\theta = -\tfrac{3}{4}\sin2\theta\Big|_{0}^{\pi/2} = -\tfrac{3}{4}\bigl(\sin\pi - \sin0\bigr)=0.
Somando:
I_1 = -\tfrac{\pi}{4} + 2 + 0 = 2 - \tfrac{\pi}{4}.
Agora calcule I_2. Substituir \cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}:
1+2\cos\theta+\cos^2\theta = \tfrac{3}{2} + 2\cos\theta + \tfrac{1}{2}\cos2\theta.
Integrando de \pi/2 a 3\pi/2:
I_2 = \int_{\pi/2}^{3\pi/2}\tfrac{3}{2}\,d\theta + \int_{\pi/2}^{3\pi/2}2\cos\theta\,d\theta + \int_{\pi/2}^{3\pi/2}\tfrac{1}{2}\cos2\theta\,d\theta.
Calcule cada termo:
\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\tfrac{3}{2}\,d\theta = \tfrac{3}{2}\cdot\bigl(3\pi/2 - \pi/2\bigr) = \tfrac{3}{2}\cdot\pi = \tfrac{3\pi}{2},
\int_{\pi/2}^{3\pi/2}2\cos\theta\,d\theta = 2\sin\theta\Big|_{\pi/2}^{3\pi/2} = 2\bigl(-1 - 1\bigr) = -4,
\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\tfrac{1}{2}\cos2\theta\,d\theta = \tfrac{1}{4}\sin2\theta\Big|_{\pi/2}^{3\pi/2} = \tfrac{1}{4}\bigl(\sin 3\pi - \sin\pi\bigr)=0.
Somando:
I_2 = \tfrac{3\pi}{2} - 4 + 0 = \tfrac{3\pi}{2} - 4.

Passo 8

Combinar os resultados para obter a área final.
Lembrando que
\text{Área} = \frac{1}{2}\Bigl[ 2I_1 + I_2 \Bigr],Á
substituir I_1 e I_2:
\text{Área} = \frac{1}{2}\Bigl[ 2\Bigl(2 - \tfrac{\pi}{4}\Bigr) + \Bigl(\tfrac{3\pi}{2} - 4\Bigr)\Bigr].Á
Calcule o interior:
2\Bigl(2 - \tfrac{\pi}{4}\Bigr) = 4 - \tfrac{\pi}{2},
então
4 - \tfrac{\pi}{2} + \tfrac{3\pi}{2} - 4 = \pi.
Portanto
\text{Área} = \frac{1}{2}\cdot \pi = \frac{\pi}{2}.Á
Interpretação final curta: a área da região que está dentro da cardióide r=1+\cos\theta e fora da circunferência (x-1)^2+y^2=1 é \dfrac{\pi}{2}.

Resposta

(a) \displaystyle \alpha(\theta)=\bigl((1+\cos\theta)\cos\theta,\;(1+\cos\theta)\sin\theta\bigr),\\ \theta\in[0,2\pi].
Gráfico: cardióide com cusp em (0,0) e ponto direito em (2,0); circunferência centrada em (1,0) com raio 1 passa por (0,0) e (2,0).
(b) \displaystyle \text{Área}=\frac{\pi}{2}Á.

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