Exercício 19 Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\left[\int_{\cos (x)-1}^{\operatorname{sen}(x)} f(x, y) d y\right] d x

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\left[\int_{\cos(x)-1}^{\sin(x)} f(x,y)\,dy\right]dx
e pede duas coisas:
  • Inverter a ordem de integração (ou seja, escrever a integral como uma integral onde primeiro se integra em x e depois em y).
  • Calcular a área da região de integração.
Informações fornecidas (extraídas do enunciado):
  • Para x vale \dfrac{\pi}{2}\le x\le \pi.
  • Para cada x o y varia de y=\cos(x)-1 (limite inferior) até y=\sin(x) (limite superior).
  • Portanto a região é
R=\{(x,y)\mid \tfrac{\pi}{2}\le x\le\pi,\\ \cos(x)-1\le y\le\sin(x)\}.

Passo 2

Entender o comportamento das curvas limites no intervalo \left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right] — isso ajuda a decidir o intervalo de y e a forma de inverter.
  • Para \,x\in\left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right] temos
    • \sin(x) é decrescente de \sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1 até \sin(\pi)=0. Logo o valor máximo de \sin(x) na faixa é 1 e o mínimo é 0.
    • \cos(x) é decrescente de \cos\!\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=0 até \cos(\pi)=-1. Então \cos(x)-1 varia de -1 até -2 (decrescendo).
  • Assim, globalmente sobre R o menor valor de y é -2 (em x=\pi) e o maior é 1 (em x=\tfrac{\pi}{2}). Ou seja y varia entre -2 e 1: -2\le y\le 1.

Passo 3

Para inverter precisamos, para um y fixo (com -2\le y\le 1), determinar os x em \left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right] que satisfazem as duas desigualdades
\cos(x)-1\le y \quad\text{e}\quad y\le \sin(x).
Vou tratar cada uma separadamente e depois combinar.
  1. Desigualdade y\le\sin(x).
  • No intervalo \left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right] a função \sin(x) é decrescente de 1 a 0. Para um dado y com 0\le y\le 1 a equação \sin(x)=y tem solução em \left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right] dada por x = \pi - \arcsin(y),porque \sin(\pi-\theta)=\sin\theta e \pi-\arcsin(y)\in\left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right].
    Como \sin é decrescente aí, a condição \sin(x)\ge y equivale a x\le \pi-\arcsin(y)\qquad\text{(quando }0\le y\le 1\text{)}.
  • Se y\le 0 então \sin(x)\ge 0\ge y para todo x\in\left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right]. Logo para y\le 0 a desigualdade y\le\sin(x) é satisfeita por todo x do intervalo.
Resumindo a partir de y para a condição com \sin:
  • Se y\in[0,1] então a condição dá x\in\left[\tfrac{\pi}{2},\,\pi-\arcsin(y)\right].
  • Se y\in[-2,0] então a condição é satisfeita por todo x\in\left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right].

Passo 4

Agora a desigualdade \cos(x)-1\le y, que podemos reescrever como
\cos(x)\le y+1.
Lembre que em \left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right] a função \cos(x) varia de 0 a -1 (decresce).
  • Se y+1\ge 0 (isto é, y\ge -1), então y+1\ge 0 e como \cos(x)\le 0 nesse intervalo, sempre \cos(x)\le y+1. Portanto para y\ge -1 esta desigualdade não impõe restrição adicional: vale para todo x\in\left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right].
  • Se y+1<0 (isto é, y<-1), então y+1\in[-1,0). Nesse caso a equação \cos(x)=y+1 tem solução na faixa \left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right] dada por x=\operatorname{arccos}(y+1),com \operatorname{arccos}(y+1)\in\left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right]. Como \cos é decrescente aí, a condição \cos(x)\le y+1 equivale a x\ge \operatorname{arccos}(y+1)\qquad\text{(quando }-2\le y<-1\text{)}.
Resumindo para a condição com \cos:
  • Se y\in[-1,1] então \cos(x)\le y+1 é verdadeira para todo x\in\left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right].
  • Se y\in[-2,-1) então a condição dá x\in\big[\operatorname{arccos}(y+1),\,\pi\big].

Passo 5

Agora combinamos as duas condições (a da \sin e a da \cos) para cada faixa de y.
  • Para y\in[-2,-1):
    • Da condição com \cos: x\in\big[\operatorname{arccos}(y+1),\pi\big].
    • Da condição com \sin: como y<0 a condição com \sin é satisfeita para todo x\in\big[\tfrac{\pi}{2},\pi\big].
    • Interseção: x\in\big[\operatorname{arccos}(y+1),\pi\big] (observe \operatorname{arccos}(y+1)\ge\tfrac{\pi}{2} aqui).
  • Para y\in[-1,0]:
    • Da condição com \cos: verdadeiro para todo x\in\big[\tfrac{\pi}{2},\pi\big].
    • Da condição com \sin: também verdadeiro para todo x\in\big[\tfrac{\pi}{2},\pi\big] (pois y\le 0).
    • Interseção: x\in\big[\tfrac{\pi}{2},\pi\big].
  • Para y\in[0,1]:
    • Da condição com \cos: verdadeira para todo x\in\big[\tfrac{\pi}{2},\pi\big].
    • Da condição com \sin: impõe x\in\big[\tfrac{\pi}{2},\,\pi-\arcsin(y)\big].
    • Interseção: x\in\big[\tfrac{\pi}{2},\,\pi-\arcsin(y)\big].
Portanto a inversão da ordem de integração resulta em três integrais em y-intervalos distintos. Escrevendo a integral com dx interno, temos:
\int_{y=-2}^{-1}\left[\int_{x=\operatorname{arccos}(y+1)}^{\pi} f(x,y)\,dx\right]dy + \int_{y=-1}^{0}\left[\int_{x=\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(x,y)\,dx\right]dy + \int_{y=0}^{1}\left[\int_{x=\frac{\pi}{2}}^{\pi-\arcsin(y)} f(x,y)\,dx\right]dy.
(Faz sentido fisicamente: para valores muito negativos de y a curva inferior \cos(x)-1 restringe x por baixo; para valores intermediários nenhum dos dois limites restringe além do intervalo inteiro; para y positivos a curva superior \sin(x) determina o teto em x.)

Passo 6

Calcular a área da região R. Para a área basta tomar f(x,y)=1 e calcular a integral original (é mais direto):
\text{Área}(R)=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\bigl(\sin(x)-(\cos(x)-1)\bigr)\,dx =\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\bigl(\sin(x)-\cos(x)+1\bigr)\,dx.Á
Calcule termo a termo. Uma antiderivada de \sin(x)-\cos(x)+1 é -\cos(x)-\sin(x)+x, pois
\frac{d}{dx}\bigl(-\cos x\bigr)=\sin x,\qquad \frac{d}{dx}\bigl(-\sin x\bigr)=-\cos x,\qquad \frac{d}{dx}(x)=1.
Avaliaremos em x=\tfrac{\pi}{2} e x=\pi.
  • Em x=\pi: -\cos(\pi)-\sin(\pi)+\pi = -(-1)-0+\pi = 1+\pi.
  • Em x=\tfrac{\pi}{2}: -\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)+\tfrac{\pi}{2} = -0-1+\tfrac{\pi}{2} = \tfrac{\pi}{2}-1.
Subtraindo:
\text{Área}(R) = (1+\pi)-\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-1\Bigr) = 1+\pi-\tfrac{\pi}{2}+1 = \tfrac{\pi}{2}+2.Á

Resposta

\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\left[\int_{\cos(x)-1}^{\sin(x)} f(x,y)\,dy\right]dx = \int_{-2}^{-1}\left[\int_{\operatorname{arccos}(y+1)}^{\pi} f(x,y)\,dx\right]dy + \int_{-1}^{0}\left[\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(x,y)\,dx\right]dy + \int_{0}^{1}\left[\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi-\arcsin(y)} f(x,y)\,dx\right]dy
\text{Área}(R)=\frac{\pi}{2}+2Á

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