Exercício 19 Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
Passo 1
O enunciado dá a integral iterada
e pede duas coisas:
- Inverter a ordem de integração (ou seja, escrever a integral como uma integral onde primeiro se integra em
e depois em ). - Calcular a área da região de integração.
Informações fornecidas (extraídas do enunciado):
- Para
vale . - Para cada
o varia de (limite inferior) até (limite superior). - Portanto a região é
Passo 2
Entender o comportamento das curvas limites no intervalo
— isso ajuda a decidir o intervalo de
e a forma de inverter.
- Para
temos -
é decrescente de até . Logo o valor máximo de na faixa é e o mínimo é . -
é decrescente de até . Então varia de até (decrescendo).
-
- Assim, globalmente sobre
o menor valor de é (em ) e o maior é (em ). Ou seja varia entre e :
Passo 3
Para inverter precisamos, para um
fixo (com
), determinar os
em
que satisfazem as duas desigualdades
Vou tratar cada uma separadamente e depois combinar.
- Desigualdade
.
- No intervalo
a função é decrescente de a . Para um dado com a equação tem solução em dada por porque e .
Comoé decrescente aí, a condição equivale a - Se
então para todo . Logo para a desigualdade é satisfeita por todo do intervalo.
Resumindo a partir de
para a condição com
:
- Se
então a condição dá . - Se
então a condição é satisfeita por todo .
Passo 4
Agora a desigualdade
, que podemos reescrever como
Lembre que em
a função
varia de
a
(decresce).
- Se
(isto é, ), então e como nesse intervalo, sempre . Portanto para esta desigualdade não impõe restrição adicional: vale para todo . - Se
(isto é, ), então . Nesse caso a equação tem solução na faixa dada por com . Como é decrescente aí, a condição equivale a
Resumindo para a condição com
:
- Se
então é verdadeira para todo . - Se
então a condição dá .
Passo 5
Agora combinamos as duas condições (a da
e a da
) para cada faixa de
.
-
Para
: - Da condição com
: . - Da condição com
: como a condição com é satisfeita para todo . - Interseção:
(observe aqui).
- Da condição com
-
Para
: - Da condição com
: verdadeiro para todo . - Da condição com
: também verdadeiro para todo (pois ). - Interseção:
.
- Da condição com
-
Para
: - Da condição com
: verdadeira para todo . - Da condição com
: impõe . - Interseção:
.
- Da condição com
Portanto a inversão da ordem de integração resulta em três integrais em
-intervalos distintos. Escrevendo a integral com
interno, temos:
(Faz sentido fisicamente: para valores muito negativos de
a curva inferior
restringe
por baixo; para valores intermediários nenhum dos dois limites restringe além do intervalo inteiro; para
positivos a curva superior
determina o teto em
.)
Passo 6
Calcular a área da região
. Para a área basta tomar
e calcular a integral original (é mais direto):
Calcule termo a termo. Uma antiderivada de
é
, pois
Avaliaremos em
e
.
- Em
: - Em
:
Subtraindo: