Exercício 1 Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
As perguntas são claramente:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis) de
. - Determinar as curvas de nível (quando pertinente) — ou seja, os conjuntos
para valores possíveis. - Descrever o gráfico da função e dar instruções para representá-lo no GeoGebra (3D).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Aparece
, o que impõe restrição sobre . - Aparece
(função arco-tangente), cuja definição e intervalo de valores serão importantes.
Passo 2
Determinar o domínio: analisar cada parte que impõe restrição.
- A expressão
exige que o argumento seja não negativo. Ou seja, é necessário
- A função
(arco-tangente) está definida para todo . Portanto não impõe restrição adicional ao argumento .
Conclusão: o único impedimento é
. Assim o domínio é
Explicação pedagógica curta: a raiz quadrada principal
só existe (no conjunto dos reais) quando
é maior ou igual a zero; depois disso, somando qualquer
obtemos um número real que pode ser passado para
, que é definida em toda a reta real.
Passo 3
Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
).
-
Lembrete sobre
: a função é contínua e estritamente crescente e tem imagem o intervalo aberto . Em palavras: aproxima-se de quando , mas nunca atinge esses extremos. -
Agora verificar que o argumento
pode assumir qualquer valor real, sob a restrição . Basta notar que, tomando , temos e então . Como percorre toda , o argumento percorre toda .
Portanto a imagem de
é exatamente o intervalo aberto
Didática curta: como já consigo fazer
igual a qualquer número real (simplesmente escolhendo
e ajustando
), e como
leva
em
, a imagem de
é esse intervalo.
Passo 4
Determinar as curvas de nível (fixando um valor
da imagem e resolvendo).
Tomemos um nível
. Para que exista curva de nível, é necessário
. A equação da curva de nível é
Aplicando a tangente (função inversa local da
) obtemos
Isolando
,
Lembre-se que por definição
, então é necessário
Elevando ao quadrado (mantendo a condição anterior), obtemos a expressão de
:
Interpretação geométrica: para cada
a curva de nível projetada no plano
é a parábola com equação
, mas apenas o ramo com
(porque
é a raiz não negativa). O vértice dessa parábola está em
e a curva se abre para a esquerda e para cima, mas apenas a porção com
menor ou igual ao vértice pertence à curva de nível correspondente.
Exemplo concreto: para
temos
e a curva é
com
; isto é, o ramo esquerdo da parábola
.
Observação: se
não pertence a
, não existem curvas de nível (pois
nunca assume esses valores).
Passo 5
Descrever o gráfico
e propriedades úteis para visualizar/plotar.
- Pode parametrizar a superfície usando
. Tomando parâmetros e ,
Essa parametrização é prática para desenhar no GeoGebra (usar
e
em vez de
).
-
Comportamento/ligações importantes:
- Na fronteira
(ou seja ) a superfície tem a curva traço
- Para
(com fixo), ou para (com fixo), o argumento e então (assíntota horizontal superior). - Para
(com fixo) o argumento e (assíntota horizontal inferior). - Monotonicidade:
é crescente, e também aumenta com , portanto é estritamente crescente em e também em (para ). Formalmente,
e, para, Observação:fica grande quando (comportamento singular na direção ), de modo que a superfície pode ter inclinação pronunciada próxima à fronteira . - Na fronteira
-
Visualmente: superfície crescente que se aproxima horizontalmente das alturas
quando ; para cada nível a interseção com o plano projeta-se no plano como a parábola com .
Passo 6
Como representar no GeoGebra (instruções práticas — siga estes passos no GeoGebra 3D):
- Usar a parametrização com
e , onde representa . Um comando que funciona no GeoGebra 3D (ajuste os intervalos conforme desejar) é, por exemplo:
Surface[(u, v^2, atan(u+v)), u, -5, 5, v, 0, 5]
Aqui corresponde a
.
atan é a função arco-tangente no GeoGebra; os intervalos -5..5 e 0..5 são sugeridos para uma boa visualização inicial — aumente se quiser ver mais detalhes. A expressão
- Para desenhar algumas curvas de nível específicas (por exemplo para
ou ) você pode usar curvas paramétricas no GeoGebra 3D. Para um valor fixo use algo na linha de:
Curve[ u, (tan\text{(c)}-u)^2, c, u, -5, tan\text{(c)} ]
onde substitui e escolhe o intervalo de
até .
c por um número (em radianos) dentro de
tan\text{(c)} (ou um intervalo adequado). Ajuste os limites para visualizar só a parte com
- Dicas de visualização: rotacione a cena 3D, use diferentes cortes por planos
, mostre a projeção no plano , e pinte a superfície com uma escala de cores por altura para ficar mais claro onde estão os níveis.
Passo 7
Resumo didático e motivacional: você já sabe como encontrar domínio (verificar a raiz), imagem (usar propriedades da
e observar que o argumento atinge
), curvas de nível (resolver para
e impor
) e representar a superfície (usar a parametrização por
). Vai dar certo — abra o GeoGebra 3D, cole a linha do Surface, e brinque com os parâmetros e cortes; isso ajuda muito a fixar a intuição.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Curvas de nível: para ,
Imagem:
Curvas de nível: para
Gráfico (parametrização útil):
com
(GeoGebra: por exemplo
Surface[(u, v^2, atan(u+v)), u, -5,5, v, 0,5]).