Exercício 1 Determine o domínio, imagem, curvas de níveis (se pertinente) e gráfico das funções dadas. Use o geogebra para fazer a representação gráfica.
f(x, y)=\operatorname{arctg}(x+\sqrt{y})

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} definida por
f(x,y)=\operatorname{arctg}\bigl(x+\sqrt{y}\bigr).
As perguntas são claramente:
  • Determinar o domínio de f.
  • Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis) de f.
  • Determinar as curvas de nível (quando pertinente) — ou seja, os conjuntos \{(x,y): f(x,y)=c\} para valores c possíveis.
  • Descrever o gráfico da função e dar instruções para representá-lo no GeoGebra (3D).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Aparece \sqrt{y}, o que impõe restrição sobre y.
  • Aparece \operatorname{arctg} (função arco-tangente), cuja definição e intervalo de valores serão importantes.

Passo 2

Determinar o domínio: analisar cada parte que impõe restrição.
  • A expressão \sqrt{y} exige que o argumento seja não negativo. Ou seja, é necessário
y \ge 0.
  • A função \operatorname{arctg}(t) (arco-tangente) está definida para todo t\in\mathbb{R}. Portanto não impõe restrição adicional ao argumento x+\sqrt{y}.
Conclusão: o único impedimento é y\ge 0. Assim o domínio é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y\ge 0\}.
Explicação pedagógica curta: a raiz quadrada principal \sqrt{y} só existe (no conjunto dos reais) quando y é maior ou igual a zero; depois disso, somando qualquer x\in\mathbb{R} obtemos um número real que pode ser passado para \operatorname{arctg}, que é definida em toda a reta real.

Passo 3

Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de f).
  • Lembrete sobre \operatorname{arctg}: a função \operatorname{arctg}:\mathbb{R}\to\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) é contínua e estritamente crescente e tem imagem o intervalo aberto \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right). Em palavras: \operatorname{arctg}(t) aproxima-se de \pm \tfrac{\pi}{2} quando t\to\pm\infty, mas nunca atinge esses extremos.
  • Agora verificar que o argumento x+\sqrt{y} pode assumir qualquer valor real, sob a restrição y\ge0. Basta notar que, tomando y=0, temos \sqrt{y}=0 e então x+\sqrt{y}=x. Como x percorre toda \mathbb{R}, o argumento percorre toda \mathbb{R}.
Portanto a imagem de f é exatamente o intervalo aberto
\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).
Didática curta: como já consigo fazer x+\sqrt{y} igual a qualquer número real (simplesmente escolhendo y=0 e ajustando x), e como \operatorname{arctg} leva \mathbb{R} em \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right), a imagem de f é esse intervalo.

Passo 4

Determinar as curvas de nível (fixando um valor c da imagem e resolvendo).
Tomemos um nível c. Para que exista curva de nível, é necessário c\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right). A equação da curva de nível é
\operatorname{arctg}\bigl(x+\sqrt{y}\bigr)=c.
Aplicando a tangente (função inversa local da \operatorname{arctg}) obtemos
x+\sqrt{y}=\tan c.
Isolando \sqrt{y},
\sqrt{y}=\tan c - x.
Lembre-se que por definição \sqrt{y}\ge 0, então é necessário
\tan c - x \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \le \tan c.
Elevando ao quadrado (mantendo a condição anterior), obtemos a expressão de y:
y=(\tan c - x)^2, \qquad\text{com a restrição}\qquad x\le \tan c.çã
Interpretação geométrica: para cada c\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) a curva de nível projetada no plano xy é a parábola com equação y=(\tan c - x)^2, mas apenas o ramo com x\le \tan c (porque \sqrt{y} é a raiz não negativa). O vértice dessa parábola está em (\tan c,0) e a curva se abre para a esquerda e para cima, mas apenas a porção com x menor ou igual ao vértice pertence à curva de nível correspondente.
Exemplo concreto: para c=0 temos \tan 0=0 e a curva é y=(-x)^2=x^2 com x\le 0; isto é, o ramo esquerdo da parábola y=x^2.
Observação: se c não pertence a \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right), não existem curvas de nível (pois f nunca assume esses valores).

Passo 5

Descrever o gráfico z=f(x,y)=\operatorname{arctg}(x+\sqrt{y}) e propriedades úteis para visualizar/plotar.
  • Pode parametrizar a superfície usando s=\sqrt{y}\ge 0. Tomando parâmetros x\in\mathbb{R} e s\in[0,\infty),
\Phi(x,s)=\bigl(x,\;s^2,\;\operatorname{arctg}(x+s)\bigr).
Essa parametrização é prática para desenhar no GeoGebra (usar u e v em vez de x,s).
  • Comportamento/ligações importantes:
    • Na fronteira y=0 (ou seja s=0) a superfície tem a curva traço
    z=\operatorname{arctg}(x),\qquad (x,0) \text{ no plano }xy.
    • Para x\to +\infty (com y fixo), ou para \sqrt{y}\to +\infty (com x fixo), o argumento x+\sqrt{y}\to +\infty e então z\to \dfrac{\pi}{2} (assíntota horizontal superior).
    • Para x\to -\infty (com y fixo) o argumento \to -\infty e z\to -\dfrac{\pi}{2} (assíntota horizontal inferior).
    • Monotonicidade: \operatorname{arctg} é crescente, e \sqrt{y} também aumenta com y, portanto f é estritamente crescente em x e também em y (para y>0). Formalmente,
    \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{1+(x+\sqrt{y})^2}>0,
    e, para y>0,
    \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{1+(x+\sqrt{y})^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}>0.
    Observação: \dfrac{\partial f}{\partial y} fica grande quando y\to 0^+ (comportamento singular na direção y), de modo que a superfície pode ter inclinação pronunciada próxima à fronteira y=0.
  • Visualmente: superfície crescente que se aproxima horizontalmente das alturas z=\pm \tfrac{\pi}{2} quando x+\sqrt{y}\to\pm\infty; para cada nível c a interseção com o plano z=c projeta-se no plano xy como a parábola y=(\tan c - x)^2 com x\le \tan c.

Passo 6

Como representar no GeoGebra (instruções práticas — siga estes passos no GeoGebra 3D):
  • Usar a parametrização com u e v, onde v\ge 0 representa s=\sqrt{y}. Um comando que funciona no GeoGebra 3D (ajuste os intervalos conforme desejar) é, por exemplo:
Surface[(u, v^2, atan(u+v)), u, -5, 5, v, 0, 5]
Aqui atan é a função arco-tangente no GeoGebra; os intervalos -5..5 e 0..5 são sugeridos para uma boa visualização inicial — aumente se quiser ver mais detalhes. A expressão v^2 corresponde a y.
  • Para desenhar algumas curvas de nível específicas (por exemplo para c=0 ou c=0,5) você pode usar curvas paramétricas no GeoGebra 3D. Para um valor fixo c use algo na linha de:
Curve[ u, (tan\text{(c)}-u)^2, c, u, -5, tan\text{(c)} ]
onde substitui c por um número (em radianos) dentro de \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) e escolhe o intervalo de u até tan\text{(c)} (ou um intervalo adequado). Ajuste os limites para visualizar só a parte com u\le \tan\text{(c)}.
  • Dicas de visualização: rotacione a cena 3D, use diferentes cortes por planos z=c, mostre a projeção no plano xy, e pinte a superfície com uma escala de cores por altura para ficar mais claro onde estão os níveis.

Passo 7

Resumo didático e motivacional: você já sabe como encontrar domínio (verificar a raiz), imagem (usar propriedades da \operatorname{arctg} e observar que o argumento atinge \mathbb{R}), curvas de nível (resolver para \sqrt{y} e impor \sqrt{y}\ge 0) e representar a superfície (usar a parametrização por s=\sqrt{y}). Vai dar certo — abra o GeoGebra 3D, cole a linha do Surface, e brinque com os parâmetros e cortes; isso ajuda muito a fixar a intuição.

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y\ge 0\}
Imagem: \displaystyle\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)
Curvas de nível: para c\in\displaystyle\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),
y=(\tan c - x)^2\quad\text{com}\quad x\le \tan c.
Gráfico (parametrização útil): \Phi(x,s)=\bigl(x,\;s^2,\;\operatorname{arctg}(x+s)\bigr) com x\in\mathbb{R},\,s\ge 0 (GeoGebra: por exemplo Surface[(u, v^2, atan(u+v)), u, -5,5, v, 0,5]).

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