Exemplo 3
Calcule o volume do tetraedo W com faces nos planos coordenados e no plano x+y+z=3.

Passo 1

O enunciado nos dá um tetraedro W cujas faces estão nos planos coordenados e no plano x+y+z=3.
As perguntas são: calcular o volume de W.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os planos coordenados são x=0, y=0 e z=0.
  • O outro plano que limita o tetraedro é x+y+z=3.
  • O tetraedro está no primeiro octante (onde x\ge0, y\ge0, z\ge0).
  • As interseções do plano x+y+z=3 com os eixos ocorrem quando duas variáveis são zero, portanto os pontos de interseção com os eixos são (3,0,0), (0,3,0) e (0,0,3). Esses três pontos e a origem formam o tetraedro.

Passo 2

Explicar a ideia para calcular o volume (sem ainda calcular): usar integrais múltiplas.
Definição prática que usaremos: o volume de uma região D no espaço é
V=\iiint_{D} dV,
onde dV é o elemento de volume (aqui vamos usar dV=dz\,dy\,dx).
Para aplicar isso precisamos descrever D com limites de integração claros. Como W está no primeiro octante e é limitado por x+y+z=3, podemos expressar:
  • x varia de 0 até 3;
  • para cada x fixo, y varia de 0 até o valor que faz z=0 na equação do plano, ou seja até y=3-x;
  • para cada x e y fixos, z varia de 0 até z=3-x-y.
    Assim a região W é
\{(x,y,z)\mid 0\le x\le3,\;0\le y\le3-x,\;0\le z\le3-x-y\}.

Passo 3

Escrever a integral tripla do volume usando os limites determinados:
V=\int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{3-x}\int_{z=0}^{3-x-y} dz\,dy\,dx.
Aqui x,y,z são as coordenadas espaciais e dz\,dy\,dx indica que vamos integrar primeiro em z, depois em y e por fim em x.

Passo 4

Calcular a integral interna (em z). Integrando 1 em relação a z de 0 a 3-x-y obtemos:
\int_{0}^{3-x-y} dz = \bigl[z\bigr]_{0}^{3-x-y} = 3-x-y.
Portanto a integral tripla reduz-se a uma integral dupla:
V=\int_{0}^{3}\int_{0}^{3-x} (3-x-y)\,dy\,dx.

Passo 5

Calcular a integral em y. Integramos 3-x-y em y de 0 a 3-x:
\int_{0}^{3-x} (3-x-y)\,dy = \bigl[(3-x)y-\tfrac{1}{2}y^{2}\bigr]_{0}^{3-x}.
Substituindo o limite y=3-x:
(3-x)(3-x)-\tfrac{1}{2}(3-x)^{2} = \tfrac{1}{2}(3-x)^{2}.
Portanto agora temos uma integral simples em x:
V=\int_{0}^{3} \tfrac{1}{2}(3-x)^{2}\,dx.

Passo 6

Calcular a integral em x. Uma forma direta é fazer a substituição u=3-x, com du=-dx. Quando x=0 tem-se u=3; quando x=3 tem-se u=0. Assim
V=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{3} (3-x)^{2}\,dx = \tfrac{1}{2}\int_{u=3}^{0} u^{2}(-du) = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{3} u^{2}\,du.
Agora integrar u^{2}:
\int_{0}^{3} u^{2}\,du = \left[\tfrac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{3} = \tfrac{27}{3} = 9.
Finalmente
V=\tfrac{1}{2}\cdot 9 = \tfrac{9}{2}.

Passo 7

Interpretação geométrica e fórmula pronta (útil para prova): se um tetraedro tem faces nos planos coordenados e é cortado pelo plano
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1,
então os interceptos com os eixos são (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c) e o volume é
V=\frac{abc}{6}.
No nosso caso a equação x+y+z=3 pode ser escrita como \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{3}=1, ou seja a=b=c=3. Aplicando a fórmula:
V=\frac{3\cdot 3\cdot 3}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2},
que confirma o resultado da integral. Essa fórmula rápida é muito prática em provas, porque evita calcular integrais toda vez.

Resposta

\dfrac{9}{2}

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