Exemplo 3
Calcule o volume do tetraedo
com faces nos planos coordenados e no plano
.
Calcule o volume do tetraedo
Passo 1
O enunciado nos dá um tetraedro
cujas faces estão nos planos coordenados e no plano
.
As perguntas são: calcular o volume de .
As perguntas são: calcular o volume de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os planos coordenados são
, e . - O outro plano que limita o tetraedro é
. - O tetraedro está no primeiro octante (onde
, , ). - As interseções do plano
com os eixos ocorrem quando duas variáveis são zero, portanto os pontos de interseção com os eixos são , e . Esses três pontos e a origem formam o tetraedro.
Passo 2
Explicar a ideia para calcular o volume (sem ainda calcular): usar integrais múltiplas.
Definição prática que usaremos: o volume de uma região no espaço é
Definição prática que usaremos: o volume de uma região
onde
é o elemento de volume (aqui vamos usar
).
Para aplicar isso precisamos descrever com limites de integração claros. Como
está no primeiro octante e é limitado por
, podemos expressar:
Para aplicar isso precisamos descrever
-
varia de até ; - para cada
fixo, varia de até o valor que faz na equação do plano, ou seja até ; - para cada
e fixos, varia de até .
Assim a regiãoé
Passo 3
Escrever a integral tripla do volume usando os limites determinados:
Aqui
são as coordenadas espaciais e
indica que vamos integrar primeiro em
, depois em
e por fim em
.
Passo 4
Calcular a integral interna (em
). Integrando
em relação a
de
a
obtemos:
Portanto a integral tripla reduz-se a uma integral dupla:
Passo 5
Calcular a integral em
. Integramos
em
de
a
:
Substituindo o limite
:
Portanto agora temos uma integral simples em
:
Passo 6
Calcular a integral em
. Uma forma direta é fazer a substituição
, com
. Quando
tem-se
; quando
tem-se
. Assim
Agora integrar
:
Finalmente
Passo 7
Interpretação geométrica e fórmula pronta (útil para prova): se um tetraedro tem faces nos planos coordenados e é cortado pelo plano
então os interceptos com os eixos são
,
,
e o volume é
No nosso caso a equação
pode ser escrita como
, ou seja
. Aplicando a fórmula:
que confirma o resultado da integral. Essa fórmula rápida é muito prática em provas, porque evita calcular integrais toda vez.