Exercício 19. Sabendo que os pontos A, B, C e D são os vértices de um losango cujo comprimento dos lados é 2 e que a medida do ângulo A \hat{B} C=\frac{2 \pi}{3} \mathrm{rad}, calcule:
\langle\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{C D}\rangle

Passo 1

O enunciado diz que A,B,C,D são vértices de um losango de lado 2 e que \angle ABC = \tfrac{2\pi}{3}. Precisamos calcular o produto escalar \langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\rangle. O conteúdo envolve propriedades vetoriais de paralelogramos (o losango é um caso especial).

Passo 2

Em todo paralelogramo, lados opostos são paralelos e congruentes como vetores. Numerando os vértices em ordem, temos
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}
e portanto
\overrightarrow{CD} = -\,\overrightarrow{DC} = -\,\overrightarrow{AB}.

Passo 3

Isso mostra que \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{CD} são vetores antiparalelos, ou seja, o ângulo entre eles vale \pi rad.

Passo 4

O produto escalar fica
\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\rangle = |\overrightarrow{AB}|\;|\overrightarrow{CD}|\;\cos\pi = 2\cdot2\cdot(-1) = -4.

Resposta

-4

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