Exercício 17. Sejam A, B e C vértices de um triângulo equilátero de lado unitário. Calcule:
\langle\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{B C}\rangle+\langle\overrightarrow{B C}, \overrightarrow{C A}\rangle+\langle\overrightarrow{C A}, \overrightarrow{A B}\rangle

Passo 1

O enunciado dá um triângulo equilátero ABC de lado unitário e pede o valor de
\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\rangle +\langle\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}\rangle +\langle\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AB}\rangle.
O que vamos usar é a relação entre soma de vetores em polígono fechado e a identidade do quadrado da soma para transformar isso num somatório de normas.

Passo 2

Num triângulo qualquer, mas em especial no equilátero, vale a soma fechada de vetores ao redor dos vértices:
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \mathbf{0}.

Passo 3

Use agora a identidade do quadrado da soma de três vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}:
\|\mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2 + 2\,\bigl(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} + \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} + \mathbf{w}\cdot\mathbf{u}\bigr).
Como \mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}=\mathbf{0}, o lado esquerdo é zero, logo
0 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2 + 2\bigl(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} + \mathbf{v}\cdot\mathbf{w} + \mathbf{w}\cdot\mathbf{u}\bigr).

Passo 4

No nosso caso, identificamos
\mathbf{u}=\overrightarrow{AB},
\mathbf{v}=\overrightarrow{BC},
\mathbf{w}=\overrightarrow{CA}.
Como o triângulo é equilátero de lado 1, temos
\|\overrightarrow{AB}\|^2 =\|\overrightarrow{BC}\|^2 =\|\overrightarrow{CA}\|^2 =1^2=1.
Então
0 = 1 + 1 + 1 + 2\bigl(\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\rangle +\langle\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}\rangle +\langle\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AB}\rangle\bigr).

Passo 5

Isolando o somatório dos produtos escalares, temos
2\bigl(\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\rangle +\langle\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}\rangle +\langle\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AB}\rangle\bigr) = -3,
portanto
\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\rangle +\langle\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}\rangle +\langle\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AB}\rangle = -\tfrac{3}{2}.

Resposta

-\tfrac{3}{2}

Exercícios relacionados