Exercício 19. No sistema de numeração de base 10 , o número 526 representa
. Em Terra Brasilis, entretanto, os números são escritos na base
. Wellington compra um automóvel lá por 440 unidades monetárias (abreviada por u.m.). Ele dá ao vendedor uma cédula de 1000 u.m. e recebe de troco 340 u.m… Qual a base
?
Passo 1
O enunciado diz que em Terra Brasilis os números são escritos na base
. Wellington compra um automóvel por
(nesta base), dá uma cédula de
e recebe de troco
. A pergunta é: qual é a base
?\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
O que o enunciado pede: encontrar o inteiro
(base do sistema) que torna verdadeira a operação de troco (isto é, a subtração na base
).
Passo 2
Lembrete didático sobre representação posicional: um número escrito em base
com dígitos
vale
Exemplo rápido para fixar: em base
o número
vale
. Aqui aplicamos a mesma ideia em base
. Escrevendo os três números do enunciado em termos de
:
Passo 3
Condição sobre os dígitos: em base
os dígitos possíveis vão de
até
. Como aparece o dígito
nos números dados, é obrigatório que
(ou seja,
). Guardamos essa restrição para escolher a raiz correta depois.
Passo 4
Montamos a equação que expressa a operação de troco (em qualquer base a subtração corresponde à diferença dos valores numéricos):
Substituindo as expressões do Passo 2:
Agora simplificamos a equação, agrupando termos:
Passando todos os termos para o lado esquerdo:
Agrupando:
Passo 5
Fatoramos a expressão para facilitar a resolução:
Daí as soluções possíveis são
ou as raízes da quadrática
. Descartamos
porque uma base não pode ser zero. Resolvendo a quadrática pela fórmula de Bhaskara (ou fatorando se for possível): o discriminante é
Como
, as raízes são
Isso dá
Descartamos
porque a base deve ser um inteiro positivo. Também lembramos da restrição do Passo 3:
. A única solução que satisfaz tudo é
Passo 6
Verificação final (para ter certeza, convertemos para valores em base decimal):
E de fato
, que é igual a
. A solução está correta.