Exercício 19. No sistema de numeração de base 10 , o número 526 representa 5 \cdot 10^{2}+2 \cdot 10+6. Em Terra Brasilis, entretanto, os números são escritos na base z. Wellington compra um automóvel lá por 440 unidades monetárias (abreviada por u.m.). Ele dá ao vendedor uma cédula de 1000 u.m. e recebe de troco 340 u.m… Qual a base z ?

Passo 1

O enunciado diz que em Terra Brasilis os números são escritos na base z. Wellington compra um automóvel por 440 (nesta base), dá uma cédula de 1000 e recebe de troco 340. A pergunta é: qual é a base z?\n
Informações relevantes fornecidas:
\text{Preço} = 440_z,\qquad \text{Pagamento} = 1000_z,\qquad \text{Troco} = 340_z.ç
O que o enunciado pede: encontrar o inteiro z (base do sistema) que torna verdadeira a operação de troco (isto é, a subtração na base z).

Passo 2

Lembrete didático sobre representação posicional: um número escrito em base z com dígitos a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0 vale
a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0.
Exemplo rápido para fixar: em base 10 o número 526 vale 5\cdot 10^2 + 2\cdot 10 + 6. Aqui aplicamos a mesma ideia em base z. Escrevendo os três números do enunciado em termos de z:
1000_z = 1\cdot z^3,
440_z = 4\cdot z^2 + 4\cdot z + 0,
340_z = 3\cdot z^2 + 4\cdot z + 0.

Passo 3

Condição sobre os dígitos: em base z os dígitos possíveis vão de 0 até z-1. Como aparece o dígito 4 nos números dados, é obrigatório que z>4 (ou seja, z\ge 5). Guardamos essa restrição para escolher a raiz correta depois.

Passo 4

Montamos a equação que expressa a operação de troco (em qualquer base a subtração corresponde à diferença dos valores numéricos):
1000_z - 440_z = 340_z.
Substituindo as expressões do Passo 2:
1\cdot z^3 - \bigl(4 z^2 + 4 z\bigr) = 3 z^2 + 4 z.
Agora simplificamos a equação, agrupando termos:
z^3 - 4z^2 - 4z = 3z^2 + 4z.
Passando todos os termos para o lado esquerdo:
z^3 - 4z^2 - 4z - 3z^2 - 4z = 0.
Agrupando:
z^3 - 7z^2 - 8z = 0.

Passo 5

Fatoramos a expressão para facilitar a resolução:
z(z^2 - 7z - 8) = 0.
Daí as soluções possíveis são z=0 ou as raízes da quadrática z^2 -7z -8=0. Descartamos z=0 porque uma base não pode ser zero. Resolvendo a quadrática pela fórmula de Bhaskara (ou fatorando se for possível): o discriminante é
\Delta = (-7)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81.
Como \sqrt{81}=9, as raízes são
z = \frac{7 \pm 9}{2}.
Isso dá
z = \frac{7+9}{2} = 8\quad\text{ou}\quad z = \frac{7-9}{2} = -1.
Descartamos z=-1 porque a base deve ser um inteiro positivo. Também lembramos da restrição do Passo 3: z\ge 5. A única solução que satisfaz tudo é
z = 8.

Passo 6

Verificação final (para ter certeza, convertemos para valores em base decimal):
1000_8 = 1\cdot 8^3 = 512,
440_8 = 4\cdot 8^2 + 4\cdot 8 = 4\cdot 64 + 32 = 256 + 32 = 288,
340_8 = 3\cdot 8^2 + 4\cdot 8 = 3\cdot 64 + 32 = 192 + 32 = 224.
E de fato 512 - 288 = 224, que é igual a 340_8. A solução está correta.

Resposta

z=8

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