Exercício 18. Um livro de 200 páginas vai ser reenumerado no sistema de numeração de base 8. Qual o número de algarismos (na base 10) que serão utilizados?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Temos um livro com
páginas, numeradas originalmente de até . - Essas páginas serão renumeradas usando o sistema de numeração na base
(ou seja, cada número de página será escrito em base ). - A pergunta é: qual o número total de algarismos que serão utilizados na impressão desses números de página? O resultado deve ser dado em base decimal (ou seja, um número escrito normalmente, por exemplo
, e não em base ).
Informações relevantes listadas:
- Números de página considerados: todos os inteiros de
até (em decimal). - Precisamos somar o comprimento (número de algarismos) da representação em base
de cada um desses números.
Passo 2
Entendendo como contar quantos algarismos um número usa em base
.
-
Em qualquer base inteira
, os números que têm exatamente algarismos (sem zeros à esquerda) são aqueles entre e , inclusive. Vou explicar isso devagar: - Para
: os números representáveis com um algarismo em base vão de até . Como aqui usamos páginas a partir de , os de um algarismo vão de até . - Para
: vão de até . - Para
: vão de até .
- Para
-
No nosso caso
. Assim: - Números com
algarismo em base vão de até . - Números com
algarismos em base vão de até . - Números com
algarismos em base vão de até .
- Números com
-
Observação importante: nosso maior número de página é
(decimal). Como , a representação de em base tem algarismos, e portanto todas as páginas até usam no máximo algarismos em base . Logo só precisamos considerar as classes de , e algarismos.
Passo 3
Contar quantos números de cada classe aparecem entre
e
e multiplicar pelo número de algarismos de cada classe.
-
Classe de
algarismo em base : números de até . - Quantidade de números:
. - Cada um usa
algarismo. - Total de algarismos dessa classe:
.
- Quantidade de números:
-
Classe de
algarismos em base : números de até . - Quantidade de números:
. - Cada um usa
algarismos. - Total de algarismos dessa classe:
.
- Quantidade de números:
-
Classe de
algarismos em base : números de até (porque não vamos além de ). - Quantidade de números:
. - Cada um usa
algarismos. - Total de algarismos dessa classe:
.
- Quantidade de números:
Passo 4
Somar os algarismos de todas as classes para obter o total usado na renumeração: