Exercício 18. Um livro de 200 páginas vai ser reenumerado no sistema de numeração de base 8. Qual o número de algarismos (na base 10) que serão utilizados?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Temos um livro com \,200\, páginas, numeradas originalmente de \,1\, até \,200\,.
  • Essas páginas serão renumeradas usando o sistema de numeração na base \,8\, (ou seja, cada número de página será escrito em base \,8\,).
  • A pergunta é: qual o número total de algarismos que serão utilizados na impressão desses números de página? O resultado deve ser dado em base decimal (ou seja, um número escrito normalmente, por exemplo \,530\,, e não em base \,8\,).
Informações relevantes listadas:
  • Números de página considerados: todos os inteiros de \,1\, até \,200\, (em decimal).
  • Precisamos somar o comprimento (número de algarismos) da representação em base \,8\, de cada um desses números.

Passo 2

Entendendo como contar quantos algarismos um número usa em base \,8\,.
  • Em qualquer base inteira \,b\ge2, os números que têm exatamente \,k\, algarismos (sem zeros à esquerda) são aqueles entre \,b^{\,k-1}\, e \,b^{\,k}-1, inclusive. Vou explicar isso devagar:
    • Para k=1: os números representáveis com um algarismo em base b vão de 0 até b-1. Como aqui usamos páginas a partir de 1, os de um algarismo vão de 1 até b-1.
    • Para k=2: vão de b até b^2-1.
    • Para k=3: vão de b^2 até b^3-1.
  • No nosso caso b=8. Assim:
    • Números com 1 algarismo em base \,8\, vão de \,1\, até \,8-1=7\,.
    • Números com 2 algarismos em base \,8\, vão de \,8\, até \,8^2-1=64-1=63\,.
    • Números com 3 algarismos em base \,8\, vão de \,8^2=64\, até \,8^3-1=512-1=511\,.
  • Observação importante: nosso maior número de página é \,200\, (decimal). Como \,64\le200\le511\,, a representação de \,200\, em base \,8\, tem 3 algarismos, e portanto todas as páginas até \,200\, usam no máximo 3 algarismos em base \,8\,. Logo só precisamos considerar as classes de 1, 2 e 3 algarismos.

Passo 3

Contar quantos números de cada classe aparecem entre \,1\, e \,200\, e multiplicar pelo número de algarismos de cada classe.
  • Classe de 1 algarismo em base \,8: números de \,1\, até \,7\,.
    • Quantidade de números: \,7-1+1=7\,.
    • Cada um usa 1 algarismo.
    • Total de algarismos dessa classe: \,7\times 1 = 7\,.
  • Classe de 2 algarismos em base \,8: números de \,8\, até \,63\,.
    • Quantidade de números: \,63-8+1=56\,.
    • Cada um usa 2 algarismos.
    • Total de algarismos dessa classe: \,56\times 2 = 112\,.
  • Classe de 3 algarismos em base \,8: números de \,64\, até \,200\, (porque não vamos além de \,200\,).
    • Quantidade de números: \,200-64+1=137\,.
    • Cada um usa 3 algarismos.
    • Total de algarismos dessa classe: \,137\times 3 = 411\,.

Passo 4

Somar os algarismos de todas as classes para obter o total usado na renumeração:
7 + 112 + 411 = 530.

Resposta

530

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