Exercício 17. Um número se escreve na base 10 como 103 e na base
como 205. Qual o valor de b ?
Passo 1
O enunciado dá duas representações do mesmo número: uma na base decimal e outra numa base desconhecida. As informações fornecidas são:
- O número escrito na base 10 é
. - O mesmo número escrito na base
é . - A pergunta: qual é o valor de
?
Passo 2
Primeiro, vamos entender como funciona a escrita posicional em uma base
. Se temos um número com três dígitos escrito como
na base
, o seu valor em base decimal é dado por
Aqui
são os dígitos (inteiros entre
e
), e
é a base. Por exemplo, em base 10 o número
vale
No nosso caso o número na base
é
, então os dígitos são
,
e
.
Passo 3
Usando a fórmula da escrita posicional para
na base
, obtemos o valor decimal equivalente:
Sabemos que esse valor deve ser igual a
(dado do enunciado). Portanto montamos a equação
Passo 4
Antes de resolver a equação, lembramos de uma condição importante sobre dígitos: cada dígito
deve satisfazer
. Como um dos dígitos é
, isso exige que
, ou seja,
Além disso,
deve ser um inteiro positivo (base de numeração).
Passo 5
Agora resolvemos a equação encontrada:
Subtraindo
de ambos os lados,
Dividindo por
,
Tirando raiz quadrada, obtemos as soluções
ou
. Como
é uma base de numeração, deve ser positiva, então escolhemos
Passo 6
Fazemos uma verificação rápida: em base
, o número
vale
que coincide com a representação decimal dada. Também os dígitos
e
são válidos em base
porque são menores que
. Tudo consistente!
Resposta
7