Exercício 17. Um número se escreve na base 10 como 103 e na base b como 205. Qual o valor de b ?

Passo 1

O enunciado dá duas representações do mesmo número: uma na base decimal e outra numa base desconhecida. As informações fornecidas são:
  • O número escrito na base 10 é 103.
  • O mesmo número escrito na base b é 205.
  • A pergunta: qual é o valor de b?

Passo 2

Primeiro, vamos entender como funciona a escrita posicional em uma base b. Se temos um número com três dígitos escrito como d_2d_1d_0 na base b, o seu valor em base decimal é dado por
d_2\cdot b^2 + d_1\cdot b + d_0.
Aqui d_2,d_1,d_0 são os dígitos (inteiros entre 0 e b-1), e b é a base. Por exemplo, em base 10 o número 205 vale
2\cdot 10^2 + 0\cdot 10 + 5 = 200 + 0 + 5 = 205.
No nosso caso o número na base b é 205, então os dígitos são d_2=2, d_1=0 e d_0=5.

Passo 3

Usando a fórmula da escrita posicional para 205 na base b, obtemos o valor decimal equivalente:
2\cdot b^2 + 0\cdot b + 5 = 2b^2 + 5.
Sabemos que esse valor deve ser igual a 103 (dado do enunciado). Portanto montamos a equação
2b^2 + 5 = 103.

Passo 4

Antes de resolver a equação, lembramos de uma condição importante sobre dígitos: cada dígito d_i deve satisfazer 0 \le d_i \le b-1. Como um dos dígitos é 5, isso exige que b-1 \ge 5, ou seja,
b \ge 6.
Além disso, b deve ser um inteiro positivo (base de numeração).

Passo 5

Agora resolvemos a equação encontrada:
2b^2 + 5 = 103.
Subtraindo 5 de ambos os lados,
2b^2 = 98.
Dividindo por 2,
b^2 = 49.
Tirando raiz quadrada, obtemos as soluções b = 7 ou b = -7. Como b é uma base de numeração, deve ser positiva, então escolhemos
b = 7.

Passo 6

Fazemos uma verificação rápida: em base 7, o número 205 vale
2\cdot 7^2 + 0\cdot 7 + 5 = 2\cdot 49 + 5 = 98 + 5 = 103,
que coincide com a representação decimal dada. Também os dígitos 2 e 5 são válidos em base 7 porque são menores que 7. Tudo consistente!

Resposta

7

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