Exercício 19. Uma tartaruga corredora anda em linha reta da seguinte maneira: no primeiro trecho, que mede \frac{1}{2} \mathrm{~m}, ela corre a velocidade de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; no segundo trecho, que mede \frac{1}{3} \mathrm{~m}, ela corre a 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; no terceiro trecho, que mede \frac{1}{4} \mathrm{~m}, ela corre a 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e assim por diante.
(a) Qual o tempo que a tartaruga leva para correr o primeiro trecho?
(b) Faça o mesmo com respeito ao segundo trecho.

Passo 1

O enunciado dá uma tartaruga que anda em linha reta em trechos sucessivos. As informações relevantes são:
  • Primeiro trecho: comprimento \tfrac{1}{2}\\ \mathrm{m} e velocidade 3\\ \mathrm{m/s}.
  • Segundo trecho: comprimento \tfrac{1}{3}\\ \mathrm{m} e velocidade 4\\ \mathrm{m/s}.
  • (Há também um terceiro trecho \tfrac{1}{4}\\ \mathrm{m} a 5\\ \mathrm{m/s}, e assim por diante, mas as perguntas pedem apenas os tempos do primeiro e do segundo trechos.)
As perguntas do exercício:
(a) Qual o tempo que a tartaruga leva para correr o primeiro trecho?
(b) Qual o tempo que a tartaruga leva para correr o segundo trecho?

Passo 2

Fórmula que usamos (apenas como ferramenta agora): o tempo t necessário para percorrer uma distância d com velocidade constante v é dado por
t=\frac{d}{v}.
Explicando bem: aqui t é o tempo em segundos ( \mathrm{s}), d é a distância em metros ( \mathrm{m}) e v é a velocidade em metros por segundo ( \mathrm{m/s}). A razão funciona nas unidades porque \mathrm{m}/(\mathrm{m/s})=\mathrm{s}. Também é útil lembrar que dividir por um número é o mesmo que multiplicar pelo seu inverso: \dfrac{a}{b}=a\cdot\dfrac{1}{b}.

Passo 3

Calcular o tempo do primeiro trecho (parte (a)). Substituímos d=\tfrac{1}{2}\\ \mathrm{m} e v=3\\ \mathrm{m/s} na fórmula:
t_1=\frac{d_1}{v_1}=\frac{\tfrac{1}{2}}{3}.
Agora faça a conta transformando em multiplicação pelo inverso:
\frac{\tfrac{1}{2}}{3}=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{6}.
Portanto o tempo do primeiro trecho é \tfrac{1}{6}\\ \mathrm{s}. Em forma decimal, aproximando, isso dá cerca de 0,1667\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular o tempo do segundo trecho (parte (b)). Substituímos d=\tfrac{1}{3}\\ \mathrm{m} e v=4\\ \mathrm{m/s}:
t_2=\frac{d_2}{v_2}=\frac{\tfrac{1}{3}}{4}.
Transformando em multiplicação:
\frac{\tfrac{1}{3}}{4}=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{12}.
Portanto o tempo do segundo trecho é \tfrac{1}{12}\\ \mathrm{s}. Em forma decimal, aproximando, isso dá cerca de 0,08333\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Dica prática para a prova (ajuda a fazer trechos genéricos rápido): nota-se que o n-ésimo trecho tem distância d_n=\dfrac{1}{n+1}\\ \mathrm{m} e velocidade v_n=n+2\\ \mathrm{m/s} (pois para n=1 obtemos 1/2 e 3, para n=2 obtemos 1/3 e 4, etc.). Assim o tempo geral do n-ésimo trecho é
t_n=\frac{d_n}{v_n}=\frac{\tfrac{1}{n+1}}{n+2}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}.
Isso permite calcular qualquer trecho rapidamente sem passar por muitas frações intermediárias. Força aí — você já tem os passos essenciais para resolver isso na prova!

Resposta

(a) \tfrac{1}{6}\\ \mathrm{s}
(b) \tfrac{1}{12}\\ \mathrm{s}

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