Exercício 19. No \triangle A B C temos que A B=\sqrt{2} \mathrm{~cm}, A C=6 \mathrm{~cm} e B \hat{A} C=45^{\circ}, qual o valor da sua área?

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC com os seguintes dados:
  • AB=\sqrt{2}\\ \text{cm}.
  • AC=6\\ \text{cm}.
  • \widehat{BAC}=45^\circ.
A pergunta é: qual é a área do triângulo ABC?

Passo 2

Vamos usar a fórmula básica da área de um triângulo a partir de uma aresta escolhida como base. A área S pode ser escrita como
S=\frac{1}{2}\times(\text{base})\times(\text{altura relativa à base}).à
Escolhendo AC como base (comprimento 6\\ \text{cm}), precisamos da altura relativa a AC, ou seja, a distância do ponto B até a reta que contém AC.

Passo 3

Agora relacionamos a altura com seno do ângulo em A. Considere o triângulo formado por AB e a perpendicular traçada de B até AC. Nesse triângulo retângulo, a definição de seno para o ângulo em A (que é \widehat{BAC}) é
\sin(\widehat{BAC})=\frac{\text{altura}}{AB}.
Portanto a altura relativa a AC é
\text{altura}=AB\cdot\sin(\widehat{BAC}).

Passo 4

Substituindo essa altura na fórmula da área:
S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot(AB\cdot\sin(\widehat{BAC})) =\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin(\widehat{BAC}).
Agora substituímos os valores conhecidos: AB=\sqrt{2}, AC=6 e \widehat{BAC}=45^\circ. Lembrando que
\sin(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2},
temos
S=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot 6\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Façamos as contas passo a passo:
\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{2}=1,
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S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 1=3.
Portanto a área é 3 em unidades de centímetros quadrados.

Resposta

3\\ \text{cm}^2

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