xercício 26. Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 5 cm . A soma das tangentes dos ângulos agudos é aproximadamente:
a) 1 .
b) 1,3 .
c) 2 .
d) 2,5 .
е) 2,8 .
a) 1 .
b) 1,3 .
c) 2 .
d) 2,5 .
е) 2,8 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Triângulo retângulo (há um ângulo de
). - A hipotenusa mede
cm. - Um dos catetos mede
cm.
O que é pedido:
- Calcular a soma das tangentes dos dois ângulos agudos do triângulo e escolher a alternativa mais próxima entre:
a).
b).
c).
d).
e).
Passo 2
Primeiro passo técnico: precisamos conhecer os comprimentos dos dois catetos para poder calcular tangentes. O triângulo é retângulo, então vale o Teorema de Pitágoras, que diz o seguinte:
Aqui cada símbolo significa:
-
é o maior lado, oposto ao ângulo de . -
e são os outros dois lados (os catetos).
Essa é a fórmula que relaciona os comprimentos dos lados num triângulo retângulo.
Passo 3
Aplicando o Teorema de Pitágoras com hipotenusa
e um cateto
, achamos o outro cateto:
Calculando:
Portanto os comprimentos dos catetos são
e
(é o conhecido triplo pitagórico
-
-
).
Passo 4
Agora vamos lembrar o que é a tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo. Seja
um ângulo agudo do triângulo (não o reto). A tangente de
é definida como:
Explicando com palavras: escolhe-se um ângulo agudo; o cateto oposto é o lado que não toca esse ângulo, e o cateto adjacente é o outro lado que forma o ângulo com a hipotenusa (alem do ângulo reto).
Denotemos os ângulos agudos por
e
. Se
for o ângulo cuja oposição é o cateto de comprimento
, então o cateto oposto a
vale
e o adjacente vale
. Já para
ocorre o inverso: oposto
e adjacente
.
Passo 5
Calcular as tangentes individuais:
Observação útil (muito prática para provas): em um triângulo retângulo os dois ângulos agudos são complementares, ou seja
. Assim
. Aqui isso fica claro:
é o recíproco de
.
Passo 6
Agora somamos as tangentes:
Colocando em denominador comum
:
Passo 7
Converter
em decimal para comparar com as alternativas:
Arredondando para uma casa decimal (como nas alternativas), isto é aproximadamente
.
Passo 8
Interpretação final para a prova: a soma das tangentes dos ângulos agudos é
, que em aproximação decimal é
, e entre as alternativas fornecidas a mais próxima é a letra e)
. Força aí — é um cálculo curto e direto na prova: reconhecer o triplo
-
-
já acelera tudo.
Resposta
e)