xercício 26. Num triângulo retângulo a hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 5 cm . A soma das tangentes dos ângulos agudos é aproximadamente:
a) 1 .
b) 1,3 .
c) 2 .
d) 2,5 .
е) 2,8 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Triângulo retângulo (há um ângulo de 90^\circ).
  • A hipotenusa mede 13 cm.
  • Um dos catetos mede 5 cm.
O que é pedido:
  • Calcular a soma das tangentes dos dois ângulos agudos do triângulo e escolher a alternativa mais próxima entre:
    a) 1.
    b) 1,3.
    c) 2.
    d) 2,5.
    e) 2,8.

Passo 2

Primeiro passo técnico: precisamos conhecer os comprimentos dos dois catetos para poder calcular tangentes. O triângulo é retângulo, então vale o Teorema de Pitágoras, que diz o seguinte:
\text{(Teorema de Pitágoras)}\quad \text{hipotenusa}^2 = \text{cateto}_1^2 + \text{cateto}_2^2.á
Aqui cada símbolo significa:
  • \text{hipotenusa} é o maior lado, oposto ao ângulo de 90^\circ.
  • \text{cateto}_1 e \text{cateto}_2 são os outros dois lados (os catetos).
    Essa é a fórmula que relaciona os comprimentos dos lados num triângulo retângulo.

Passo 3

Aplicando o Teorema de Pitágoras com hipotenusa 13 e um cateto 5, achamos o outro cateto:
13^2 = 5^2 + (\text{outro cateto})^2.
Calculando:
169 = 25 + (\text{outro cateto})^2,
(\text{outro cateto})^2 = 169 - 25 = 144,
\text{outro cateto} = \sqrt{144} = 12.
Portanto os comprimentos dos catetos são 5 e 12 (é o conhecido triplo pitagórico 5- 12- 13).

Passo 4

Agora vamos lembrar o que é a tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo. Seja \theta um ângulo agudo do triângulo (não o reto). A tangente de \theta é definida como:
\tan(\theta)=\frac{\text{cateto oposto a }\theta}{\text{cateto adjacente a }\theta}.
Explicando com palavras: escolhe-se um ângulo agudo; o cateto oposto é o lado que não toca esse ângulo, e o cateto adjacente é o outro lado que forma o ângulo com a hipotenusa (alem do ângulo reto).
Denotemos os ângulos agudos por \alpha e \beta. Se \alpha for o ângulo cuja oposição é o cateto de comprimento 5, então o cateto oposto a \alpha vale 5 e o adjacente vale 12. Já para \beta ocorre o inverso: oposto 12 e adjacente 5.

Passo 5

Calcular as tangentes individuais:
\tan(\alpha)=\frac{5}{12},\qquad \tan(\beta)=\frac{12}{5}.
Observação útil (muito prática para provas): em um triângulo retângulo os dois ângulos agudos são complementares, ou seja \alpha+\beta=90^\circ. Assim \tan(\beta)=\tan(90^\circ-\alpha)=\cot(\alpha)=\dfrac{1}{\tan(\alpha)}. Aqui isso fica claro: \dfrac{12}{5} é o recíproco de \dfrac{5}{12}.

Passo 6

Agora somamos as tangentes:
\tan(\alpha)+\tan(\beta)=\frac{5}{12}+\frac{12}{5}.
Colocando em denominador comum 60:
\frac{5}{12}+\frac{12}{5}=\frac{5\cdot5}{60}+\frac{12\cdot12}{60}=\frac{25+144}{60}=\frac{169}{60}.

Passo 7

Converter \dfrac{169}{60} em decimal para comparar com as alternativas:
\frac{169}{60}=2+\frac{49}{60}\approx 2,816\overline{6}.
Arredondando para uma casa decimal (como nas alternativas), isto é aproximadamente 2,8.

Passo 8

Interpretação final para a prova: a soma das tangentes dos ângulos agudos é \dfrac{169}{60}, que em aproximação decimal é 2,816\ldots, e entre as alternativas fornecidas a mais próxima é a letra e) 2,8. Força aí — é um cálculo curto e direto na prova: reconhecer o triplo 5- 12- 13 já acelera tudo.

Resposta

e) 2,8

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