Exercício 27. Para calcular a altura de um morro, um topógrafo posicionou-se com seu teodolito a 200 m do morro e o aparelho forneceu a medida do ângulo de visada do morro:
. O topógrafo, olhando numa tabela, considerou
. Se a altura do teodolito é
, qual é a altura, em metros, do morro obtida pelo topógrafo? b) 125,60 . c) 118,20 . d) 115,60 . e) 114 . a) 352,48 .
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Distância horizontal do teodolito até o morro:
. - Ângulo de visada (elevação) medido:
. - O topógrafo consultou uma tabela e considerou
(valor fornecido pelo enunciado). - Altura do teodolito em relação ao piso onde ele está:
. - Pergunta: qual é a altura do morro, em metros, obtida pelo topógrafo usando os dados acima?
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
- Em trigonometria de triângulos retângulos, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente a ele.
- Escrevendo isso com símbolos: para um ângulo
,
- No problema, ao olhar para o morro, podemos imaginar um triângulo retângulo onde:
- o cateto adjacente é a distância horizontal entre o teodolito e a base do morro:
, - o cateto oposto é a diferença de altura entre o topo do morro e o nível do instrumento (teodolito).
- o cateto adjacente é a distância horizontal entre o teodolito e a base do morro:
- Se chamarmos
a altura do morro (em metros), então o cateto oposto vale , porque o instrumento está a acima do solo local.
Passo 3
Montando a relação trigonométrica com as quantidades do problema:
Aqui:
-
é a tangente do ângulo medido; -
é a altura desconhecida do morro (em metros); -
é a altura do teodolito (em metros); -
é a distância horizontal (em metros).
Passo 4
Substituir na equação o valor que o topógrafo usou para
, que o enunciado diz ser
:
Passo 5
Isolar
passo a passo:
- Multiplicar ambos os lados por
:
- Calcular
. Uma forma fácil de pensar: , então
- Portanto
- Somar
em ambos os lados para obter :
Passo 6
Interpretação final e observação prática:
- O valor obtido pelo topógrafo, usando a tabela com
, é . - Observação didática rápida (para saber por que há pequenas diferenças em algumas tabelas): o valor mais preciso de
é cerca de . Se usasse esse valor mais preciso teria um resultado levemente diferente; porém o enunciado pede o resultado com , então o cálculo acima é o correto segundo o procedimento do topógrafo. Força aí nos estudos — está indo bem!