Exercício 27. Para calcular a altura de um morro, um topógrafo posicionou-se com seu teodolito a 200 m do morro e o aparelho forneceu a medida do ângulo de visada do morro: 30^{\circ}. O topógrafo, olhando numa tabela, considerou \operatorname{tg} 30^{\circ}=0,57. Se a altura do teodolito é 1,60 \mathrm{~m}, qual é a altura, em metros, do morro obtida pelo topógrafo? b) 125,60 . c) 118,20 . d) 115,60 . e) 114 . a) 352,48 .

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Distância horizontal do teodolito até o morro: 200\\ \text{m}.
  • Ângulo de visada (elevação) medido: 30^\circ.
  • O topógrafo consultou uma tabela e considerou \tan 30^\circ = 0,57 (valor fornecido pelo enunciado).
  • Altura do teodolito em relação ao piso onde ele está: 1,60\\ \text{m}.
  • Pergunta: qual é a altura do morro, em metros, obtida pelo topógrafo usando os dados acima?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
  • Em trigonometria de triângulos retângulos, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente a ele.
  • Escrevendo isso com símbolos: para um ângulo \theta,
\tan\theta = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.
  • No problema, ao olhar para o morro, podemos imaginar um triângulo retângulo onde:
    • o cateto adjacente é a distância horizontal entre o teodolito e a base do morro: 200\\ \text{m},
    • o cateto oposto é a diferença de altura entre o topo do morro e o nível do instrumento (teodolito).
  • Se chamarmos H a altura do morro (em metros), então o cateto oposto vale H - 1,60, porque o instrumento está a 1,60\\ \text{m} acima do solo local.

Passo 3

Montando a relação trigonométrica com as quantidades do problema:
\tan 30^\circ = \frac{H - 1,60}{200}.
Aqui:
  • \tan 30^\circ é a tangente do ângulo medido;
  • H é a altura desconhecida do morro (em metros);
  • 1,60 é a altura do teodolito (em metros);
  • 200 é a distância horizontal (em metros).

Passo 4

Substituir na equação o valor que o topógrafo usou para \tan 30^\circ, que o enunciado diz ser 0,57:
0,57 = \frac{H - 1,60}{200}.

Passo 5

Isolar H passo a passo:
  • Multiplicar ambos os lados por 200:
200 \cdot 0,57 = H - 1,60.
  • Calcular 200\cdot 0,57. Uma forma fácil de pensar: 0,57 = \dfrac{57}{100}, então
200\cdot 0,57 = 200\cdot \frac{57}{100} = 2\cdot 57 = 114.
  • Portanto
114 = H - 1,60.
  • Somar 1,60 em ambos os lados para obter H:
H = 114 + 1,60 = 115,60.

Passo 6

Interpretação final e observação prática:
  • O valor obtido pelo topógrafo, usando a tabela com \tan 30^\circ = 0,57, é 115,60\\ \text{m}.
  • Observação didática rápida (para saber por que há pequenas diferenças em algumas tabelas): o valor mais preciso de \tan 30^\circ é cerca de 0,57735. Se usasse esse valor mais preciso teria um resultado levemente diferente; porém o enunciado pede o resultado com \tan 30^\circ = 0,57, então o cálculo acima é o correto segundo o procedimento do topógrafo. Força aí nos estudos — está indo bem!

Resposta

115,60\\ \text{m}

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