Exercício 20. *(Coordenadas Esféricas.) A mudança para coordenadas esféricas muda as variáveis x, y, z para as variáveis \rho, \varphi, \theta por meio das relações
x=\rho \operatorname{sen} \varphi \cos \theta, \quad y=\rho \operatorname{sen} \varphi \operatorname{sen} \theta \quad \text { e } \quad z=\rho \cos \varphi .
a) Verifique que x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}.
b) Mostre que o determinante Jacobiano da mudança para coordenadas esféricas vale -\rho^{2} \cdot \operatorname{sen} \varphi.

Passo 1

O enunciado dá as fórmulas de mudança para coordenadas esféricas:
x=\rho \operatorname{sen}\varphi \cos\theta,\qquad y=\rho \operatorname{sen}\varphi \operatorname{sen}\theta,\qquad z=\rho \cos\varphi.
Ele pede duas coisas:
  1. Verificar que x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}.
  2. Mostrar que o determinante jacobiano da mudança para coordenadas esféricas vale -\rho^{2}\cdot\operatorname{sen}\varphi.
Informações relevantes que temos: as expressões de x,y,z em função de \rho,\varphi,\theta e as identidades trigonométricas básicas, em particular
\operatorname{sen}^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1
para qualquer ângulo \alpha.

Passo 2

Resolvendo a parte (a). Vamos calcular x^{2}+y^{2}+z^{2} substituindo as expressões dadas.
Primeiro compute x^{2} e y^{2}:
x^{2}=(\rho \operatorname{sen}\varphi \cos\theta)^{2}=\rho^{2}\operatorname{sen}^{2}\varphi\cos^{2}\theta,
y^{2}=(\rho \operatorname{sen}\varphi \operatorname{sen}\theta)^{2}=\rho^{2}\operatorname{sen}^{2}\varphi\operatorname{sen}^{2}\theta.
Somando x^{2}+y^{2}:
x^{2}+y^{2}=\rho^{2}\operatorname{sen}^{2}\varphi(\cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta).
Usando \cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta=1 obtemos
x^{2}+y^{2}=\rho^{2}\operatorname{sen}^{2}\varphi.
Agora some z^{2}:
z^{2}=(\rho\cos\varphi)^{2}=\rho^{2}\cos^{2}\varphi.
Portanto
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}\operatorname{sen}^{2}\varphi+\rho^{2}\cos^{2}\varphi =\rho^{2}(\operatorname{sen}^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi).
Usando \operatorname{sen}^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1 concluímos
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}.
Isto resolve a parte (a).

Passo 3

Agora vamos à parte (b). Primeiro explico o que é o determinante jacobiano aqui: para a mudança (\rho,\varphi,\theta)\mapsto(x,y,z) o jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais
J=\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\varphi,\theta)}
onde a matriz é formada por:
\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial x}{\partial \rho} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial \varphi} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial \theta}\\[6pt] \displaystyle\frac{\partial y}{\partial \rho} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial \varphi} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial \theta}\\[6pt] \displaystyle\frac{\partial z}{\partial \rho} & \displaystyle\frac{\partial z}{\partial \varphi} & \displaystyle\frac{\partial z}{\partial \theta} \end{pmatrix}.
Observação importante (para não te confundir na prova): a ordem das colunas corresponde exatamente à ordem das variáveis do domínio (\rho,\varphi,\theta). Se você trocar a ordem de \varphi e \theta na definição da matriz, o determinante muda de sinal (trocar colunas troca o sinal do determinante). Vou primeiro calcular o jacobiano na ordem natural (\rho,\varphi,\theta) e depois comentar sobre o sinal pedido no enunciado.]

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais necessárias. Partindo de
x=\rho\operatorname{sen}\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
temos:
  • Derivadas em relação a \rho:
\frac{\partial x}{\partial \rho}=\operatorname{sen}\varphi\cos\theta,\qquad \frac{\partial y}{\partial \rho}=\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\theta,\qquad \frac{\partial z}{\partial \rho}=\cos\varphi.
  • Derivadas em relação a \varphi:
\frac{\partial x}{\partial \varphi}=\rho\cos\varphi\cos\theta,\qquad \frac{\partial y}{\partial \varphi}=\rho\cos\varphi\operatorname{sen}\theta,\qquad \frac{\partial z}{\partial \varphi}=-\rho\operatorname{sen}\varphi.
  • Derivadas em relação a \theta:
\frac{\partial x}{\partial \theta}=-\rho\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\theta,\qquad \frac{\partial y}{\partial \theta}=\rho\operatorname{sen}\varphi\cos\theta,\qquad \frac{\partial z}{\partial \theta}=0.
Assim a matriz jacobiana é
M=\begin{pmatrix} \operatorname{sen}\varphi\cos\theta & \rho\cos\varphi\cos\theta & -\rho\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\theta\\[6pt] \operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\theta & \rho\cos\varphi\operatorname{sen}\theta & \rho\operatorname{sen}\varphi\cos\theta\\[6pt] \cos\varphi & -\rho\operatorname{sen}\varphi & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Para simplificar o cálculo do determinante, fatoramos \rho das colunas 2 e 3 (veja que a coluna 1 não tem fator \rho, colunas 2 e 3 têm um fator \rho em todos os seus elementos), isto produz um fator \rho^{2} fora do determinante:
\det M=\rho^{2}\det \begin{pmatrix} \operatorname{sen}\varphi\cos\theta & \cos\varphi\cos\theta & -\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\theta\\[6pt] \operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\theta & \cos\varphi\operatorname{sen}\theta & \operatorname{sen}\varphi\cos\theta\\[6pt] \cos\varphi & -\operatorname{sen}\varphi & 0 \end{pmatrix}.
Uma maneira elegante de avaliar esse determinante é escrever as colunas como vetores e usar produto vetorial: se as colunas forem \mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_3, então \det(\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_3)=\mathbf{c}_1\cdot(\mathbf{c}_2\times\mathbf{c}_3).
Definindo
\mathbf{c}_1=\begin{pmatrix}\operatorname{sen}\varphi\cos\theta\\[2pt]\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\theta\\[2pt]\cos\varphi\end{pmatrix},\quad \mathbf{c}_2=\begin{pmatrix}\cos\varphi\cos\theta\\[2pt]\cos\varphi\operatorname{sen}\theta\\[2pt]-\operatorname{sen}\varphi\end{pmatrix},\quad \mathbf{c}_3=\begin{pmatrix}-\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\theta\\[2pt]\operatorname{sen}\varphi\cos\theta\\[2pt]0\end{pmatrix},
fazendo \mathbf{c}_2\times\mathbf{c}_3 obtemos, após cálculo direto,
\mathbf{c}_2\times\mathbf{c}_3= \begin{pmatrix} \operatorname{sen}^{2}\varphi\cos\theta\\[2pt] \operatorname{sen}^{2}\varphi\operatorname{sen}\theta\\[2pt] \cos\varphi\,\operatorname{sen}\varphi \end{pmatrix}.
Agora o produto escalar com \mathbf{c}_1 é
\mathbf{c}_1\cdot(\mathbf{c}_2\times\mathbf{c}_3) =\operatorname{sen}\varphi\cos\theta\cdot\operatorname{sen}^{2}\varphi\cos\theta +\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}\theta\cdot\operatorname{sen}^{2}\varphi\operatorname{sen}\theta +\cos\varphi\cdot\cos\varphi\,\operatorname{sen}\varphi.
Agrupando e usando \cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta=1 e \operatorname{sen}^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1, obtemos
\mathbf{c}_1\cdot(\mathbf{c}_2\times\mathbf{c}_3)=\operatorname{sen}\varphi.
Portanto
\det M=\rho^{2}\operatorname{sen}\varphi.
Este é o resultado habitual: o jacobiano (com a ordem das colunas correspondente a \rho,\varphi,\theta) tem magnitude \rho^{2}\operatorname{sen}\varphi.]

Passo 6

Agora tratemos a questão do sinal pedido no enunciado: se, ao montar a matriz jacobiana, trocarmos a ordem das variáveis \varphi e \theta (ou seja, se escrevermos a matriz como \partial(x,y,z)/\partial(\rho,\theta,\varphi) em vez de \partial(x,y,z)/\partial(\rho,\varphi,\theta)), então trocamos duas colunas da matriz e o determinante muda de sinal. Assim, para essa convenção alternativa da ordem das colunas, o determinante fica
\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,\varphi)}=-\rho^{2}\operatorname{sen}\varphi.
Muitos textos ou enunciados (dependendo da ordem escolhida para listar as variáveis) apresentam o jacobiano com esse sinal negativo. Por isso o enunciado pede -\rho^{2}\operatorname{sen}\varphi.

Resposta

\rho^{2}
-\rho^{2}\operatorname{sen}\varphi

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