Exercício 20. *(Coordenadas Esféricas.) A mudança para coordenadas esféricas muda as variáveis x, y, z para as variáveis \rho, \varphi, \theta por meio das relações
a) Verifique que x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}.
b) Mostre que o determinante Jacobiano da mudança para coordenadas esféricas vale -\rho^{2} \cdot \operatorname{sen} \varphi.
Passo 1
O enunciado dá as fórmulas de mudança para coordenadas esféricas:
Agora vamos à parte (b). Primeiro explico o que é o determinante jacobiano aqui: para a mudança (\rho,\varphi,\theta)\mapsto(x,y,z) o jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais
Observação importante (para não te confundir na prova): a ordem das colunas corresponde exatamente à ordem das variáveis do domínio (\rho,\varphi,\theta). Se você trocar a ordem de \varphi e \theta na definição da matriz, o determinante muda de sinal (trocar colunas troca o sinal do determinante). Vou primeiro calcular o jacobiano na ordem natural (\rho,\varphi,\theta) e depois comentar sobre o sinal pedido no enunciado.]
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais necessárias. Partindo de
Para simplificar o cálculo do determinante, fatoramos \rho das colunas 2 e 3 (veja que a coluna 1 não tem fator \rho, colunas 2 e 3 têm um fator \rho em todos os seus elementos), isto produz um fator \rho^{2} fora do determinante:
Uma maneira elegante de avaliar esse determinante é escrever as colunas como vetores e usar produto vetorial: se as colunas forem \mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_3, então \det(\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_3)=\mathbf{c}_1\cdot(\mathbf{c}_2\times\mathbf{c}_3).
Este é o resultado habitual: o jacobiano (com a ordem das colunas correspondente a \rho,\varphi,\theta) tem magnitude \rho^{2}\operatorname{sen}\varphi.]
Passo 6
Agora tratemos a questão do sinal pedido no enunciado: se, ao montar a matriz jacobiana, trocarmos a ordem das variáveis \varphi e \theta (ou seja, se escrevermos a matriz como \partial(x,y,z)/\partial(\rho,\theta,\varphi) em vez de \partial(x,y,z)/\partial(\rho,\varphi,\theta)), então trocamos duas colunas da matriz e o determinante muda de sinal. Assim, para essa convenção alternativa da ordem das colunas, o determinante fica
Muitos textos ou enunciados (dependendo da ordem escolhida para listar as variáveis) apresentam o jacobiano com esse sinal negativo. Por isso o enunciado pede -\rho^{2}\operatorname{sen}\varphi.