Determinar a ordem da equação diferencial e dizer se a mesma equação é linear ou não-linear.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
O que é pedido:
- Determinar a ordem da equação.
- Dizer se a equação é linear ou não-linear.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial — aula rápida e direta: a ordem é o maior índice de derivada de
que aparece na equação.
- Se aparece apenas
(ou ), a ordem é (caso raro, normalmente é uma equação algébrica). - Se aparece
, a ordem é . - Se aparece
, a ordem é pelo menos , e assim por diante.
Exemplos simples para fixar:
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso enunciado: na equação
aparecem as derivadas
(primeira derivada) e
(que é a derivada de ordem zero,
). O maior índice de derivada presente é
. Portanto a ordem da equação é
.
Passo 4
O que significa “linear” numa equação diferencial — outra mini-aula: uma equação diferencial de ordem
é linear se ela pode ser escrita na forma
onde:
-
é a -ésima derivada de ; - os coeficientes
dependem somente da variável independente (normalmente ) e NÃO dependem de ; - os termos envolvendo
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (ou seja, não aparecem produtos entre e , nem potências como , nem funções não-lineares de como , , etc.).
Exemplos: - Linear:
. - Não-linear:
(porque aparece ); (produto ).
Passo 5
Compare a nossa equação com a forma linear geral. Reescrevendo:
Aqui os coeficientes são constantes (
e
), portanto dependem somente da variável independente (na prática são funções de
constantes). Não há termos como
,
ou
. Ou seja,
e
aparecem apenas de forma linear. Portanto a equação é linear. Observação extra útil: como o lado direito é
, é uma equação linear homogênea de primeira ordem.
Resposta
Ordem:
É linear.
É linear.