Determinar a ordem da equação diferencial e dizer se a mesma equação é linear ou não-linear.
y^{\prime}-y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
y' - y = 0.
O que é pedido:
  • Determinar a ordem da equação.
  • Dizer se a equação é linear ou não-linear.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial — aula rápida e direta: a ordem é o maior índice de derivada de y que aparece na equação.
  • Se aparece apenas y (ou y^{(0)}), a ordem é 0 (caso raro, normalmente é uma equação algébrica).
  • Se aparece y', a ordem é 1.
  • Se aparece y'', a ordem é pelo menos 2, e assim por diante.
    Exemplos simples para fixar:
y'' + y = 0 \quad\text{tem ordem }2,
y' + 3y = 0 \quad\text{tem ordem }1.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso enunciado: na equação \;y' - y = 0\; aparecem as derivadas y' (primeira derivada) e y (que é a derivada de ordem zero, y^{(0)}). O maior índice de derivada presente é 1. Portanto a ordem da equação é 1.

Passo 4

O que significa “linear” numa equação diferencial — outra mini-aula: uma equação diferencial de ordem n é linear se ela pode ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
onde:
  • y^{(k)} é a k-ésima derivada de y;
  • os coeficientes a_i(x) dependem somente da variável independente (normalmente x) e NÃO dependem de y;
  • os termos envolvendo y e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (ou seja, não aparecem produtos entre y e y', nem potências como y^2, nem funções não-lineares de y como \sin(y), e^{y}, etc.).
    Exemplos:
  • Linear: \;y''+\sin(x)\,y' - 3y = e^x\;.
  • Não-linear: \;y' = y^2\; (porque aparece y^2); \;y\,y' = 1\; (produto y\cdot y').

Passo 5

Compare a nossa equação com a forma linear geral. Reescrevendo:
y' - y = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1\cdot y' + (-1)\cdot y = 0.
Aqui os coeficientes são constantes ( 1 e -1), portanto dependem somente da variável independente (na prática são funções de x constantes). Não há termos como y^2, y\,y' ou \sin(y). Ou seja, y e y' aparecem apenas de forma linear. Portanto a equação é linear. Observação extra útil: como o lado direito é 0, é uma equação linear homogênea de primeira ordem.

Resposta

Ordem: 1
É linear.

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