Exercício 18. *(Regra da Cadeia em mais Variáveis.) Podemos estender a regra da cadeia para três variáveis (ou até mais variáveis). Se x, y, z são substituídos por u, v, w (isto é, x=x(u, v, w), y=y(u, v, w) e z=z(u, v, w) ) então
O determinante da matriz Jacobiana é chamado determinante Jacobiano.
a) Considere a mudança de variáveis linear
x=u+2 v, \quad y=3 u-v+w, \quad z=2 v-w
Calcule o determinante Jacobiano dessa mudança de variáveis (resposta: 5). Escreva a mudança inversa (isto é, isole u, v, w em função de x, y, z ) e verifique que a matriz Jacobiana é a matriz inversa da matriz Jacobiana da mudança de x, y, z para u, v, w.
b) Considere a mudança de variáveis
x=w^{3}, \quad y=u^{2} \cos (v)-2 w \quad z=u^{2} \operatorname{sen}(v)+w
Calcule seu determinante Jacobiano (resposta: 6 u^{3} w^{2} ).
Passo 1
O enunciado tem duas partes (a) e (b). Vou listar exatamente o que é pedido e os dados fornecidos.
Parte (a):
Dados da mudança linear:
x = u + 2v,\qquad y = 3u - v + w,\qquad z = 2v - w.
Pedidos:
Calcular o determinante Jacobiano dessa mudança de variáveis (o enunciado indica que a resposta é 5).
Escrever a mudança inversa isolando u, v, w em função de x, y, z.
Verificar que a matriz Jacobiana da inversa é a matriz inversa da matriz Jacobiana da mudança direta.
Parte (b):
Dados da mudança:
x = w^{3},\qquad y = u^{2}\cos(v)-2w,\qquad z = u^{2}\sin(v)+w.
Pedido:
Calcular o determinante Jacobiano dessa mudança (o enunciado indica que a resposta é 6u^{3}w^{2}).
O que tenho disponível: as expressões das transformações. A resolução começa no passo seguinte.
Passo 2
Breve explicação didática do que é a matriz Jacobiana e por que usamos determinante.
Se temos uma transformação F que manda (u,v,w) para (x,y,z), a matriz Jacobiana J (na convenção usada no enunciado) é a matriz 3\times3 cujas entradas são as derivadas parciais dos componentes x,y,z em relação às variáveis u,v,w, com as linhas correspondendo às derivadas em relação a u,v,w. Em notação:
Intuição: cada linha diz como os componentes x,y,z mudam quando alteramos apenas uma das variáveis (u,v,w). O determinante desse Jacobiano mede a “escala de volume” infinitesimal que a transformação aplica — se for zero, há perda de dimensão local; se for não nulo, a transformação é localmente invertível e o determinante da inversa é o recíproco.
Para uma transformação linear (parte (a)), a matriz de coeficientes da transformação é exatamente essa matriz Jacobiana (as derivadas são constantes). A inversa linear tem matriz que é a inversa dessa matriz; portanto, a matriz Jacobiana da inversa deve ser a inversa da matriz Jacobiana direta.
Agora aplico isso aos itens.
Passo 3
Cálculo do Jacobiano e do seu determinante para a parte (a).
Calculo das derivadas parciais (diretas), usando as expressões
x = u + 2v,\qquad y = 3u - v + w,\qquad z = 2v - w.
isto é, o produto resulta na matriz diagonal com 5 na diagonal. Dividindo pelo fator 5 do K obtemos J\cdot K = I_{3}. Portanto K=J^{-1}, ou seja, a matriz Jacobiana da inversa é realmente a matriz inversa da Jacobiana direta. Isso confirma a propriedade pedida.]
Passo 6
Cálculo do determinante Jacobiano para a parte (b) — passo a passo.
Dados:
x = w^{3},\qquad y = u^{2}\cos(v)-2w,\qquad z = u^{2}\sin(v)+w.
Calculo das derivadas parciais em relação a u,v,w.
Cálculo do determinante. Como as duas primeiras entradas da primeira coluna são 0, é conveniente expandir pela primeira coluna — só o elemento da terceira linha contribui: