Exercício 18. *(Regra da Cadeia em mais Variáveis.) Podemos estender a regra da cadeia para três variáveis (ou até mais variáveis). Se x, y, z são substituídos por u, v, w (isto é, x=x(u, v, w), y=y(u, v, w) e z=z(u, v, w) ) então
\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial u} .
Neste caso, a matriz Jacobiana (ver exemplo 42) é uma matriz 3 \times 3, dada por
J=\left[\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial u} \\\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial v} \\\ \frac{\partial x}{\partial w} & \frac{\partial y}{\partial w} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{array}\right]
O determinante da matriz Jacobiana é chamado determinante Jacobiano.
a) Considere a mudança de variáveis linear
x=u+2 v, \quad y=3 u-v+w, \quad z=2 v-w
Calcule o determinante Jacobiano dessa mudança de variáveis (resposta: 5). Escreva a mudança inversa (isto é, isole u, v, w em função de x, y, z ) e verifique que a matriz Jacobiana é a matriz inversa da matriz Jacobiana da mudança de x, y, z para u, v, w.
b) Considere a mudança de variáveis
x=w^{3}, \quad y=u^{2} \cos (v)-2 w \quad z=u^{2} \operatorname{sen}(v)+w
Calcule seu determinante Jacobiano (resposta: 6 u^{3} w^{2} ).

Passo 1

O enunciado tem duas partes (a) e (b). Vou listar exatamente o que é pedido e os dados fornecidos.
Parte (a):
  • Dados da mudança linear:
x = u + 2v,\qquad y = 3u - v + w,\qquad z = 2v - w.
  • Pedidos:
    1. Calcular o determinante Jacobiano dessa mudança de variáveis (o enunciado indica que a resposta é 5).
    2. Escrever a mudança inversa isolando u, v, w em função de x, y, z.
    3. Verificar que a matriz Jacobiana da inversa é a matriz inversa da matriz Jacobiana da mudança direta.
Parte (b):
  • Dados da mudança:
x = w^{3},\qquad y = u^{2}\cos(v)-2w,\qquad z = u^{2}\sin(v)+w.
  • Pedido:
    1. Calcular o determinante Jacobiano dessa mudança (o enunciado indica que a resposta é 6u^{3}w^{2}).
O que tenho disponível: as expressões das transformações. A resolução começa no passo seguinte.

Passo 2

Breve explicação didática do que é a matriz Jacobiana e por que usamos determinante.
  • Se temos uma transformação F que manda (u,v,w) para (x,y,z), a matriz Jacobiana J (na convenção usada no enunciado) é a matriz 3\times3 cujas entradas são as derivadas parciais dos componentes x,y,z em relação às variáveis u,v,w, com as linhas correspondendo às derivadas em relação a u,v,w. Em notação:
J=\begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial u} \\\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial v} \\\ \frac{\partial x}{\partial w} & \frac{\partial y}{\partial w} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{bmatrix}.
  • Intuição: cada linha diz como os componentes x,y,z mudam quando alteramos apenas uma das variáveis (u,v,w). O determinante desse Jacobiano mede a “escala de volume” infinitesimal que a transformação aplica — se for zero, há perda de dimensão local; se for não nulo, a transformação é localmente invertível e o determinante da inversa é o recíproco.
  • Para uma transformação linear (parte (a)), a matriz de coeficientes da transformação é exatamente essa matriz Jacobiana (as derivadas são constantes). A inversa linear tem matriz que é a inversa dessa matriz; portanto, a matriz Jacobiana da inversa deve ser a inversa da matriz Jacobiana direta.
Agora aplico isso aos itens.

Passo 3

Cálculo do Jacobiano e do seu determinante para a parte (a).
  1. Calculo das derivadas parciais (diretas), usando as expressões
x = u + 2v,\qquad y = 3u - v + w,\qquad z = 2v - w.
  • Derivadas em relação a u:
\frac{\partial x}{\partial u}=1,\qquad \frac{\partial y}{\partial u}=3,\qquad \frac{\partial z}{\partial u}=0.
  • Derivadas em relação a v:
\frac{\partial x}{\partial v}=2,\qquad \frac{\partial y}{\partial v}=-1,\qquad \frac{\partial z}{\partial v}=2.
  • Derivadas em relação a w:
\frac{\partial x}{\partial w}=0,\qquad \frac{\partial y}{\partial w}=1,\qquad \frac{\partial z}{\partial w}=-1.
  1. Montando a matriz Jacobiana J (linhas: u,v,w; colunas: x,y,z):
J=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}.
  1. Calculo do determinante de J. Vou expandir pela primeira linha (ou usar fórmula de 3x3):
\det J = 1\cdot\det\begin{bmatrix}-1 & 2\\[4pt] 1 & -1\end{bmatrix} -3\cdot\det\begin{bmatrix}2 & 2\\[4pt] 0 & -1\end{bmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calculo os dois menores:
\det\begin{bmatrix}-1 & 2\\[4pt] 1 & -1\end{bmatrix} = (-1)(-1)-2\cdot 1 = 1-2 = -1,
\det\begin{bmatrix}2 & 2\\[4pt] 0 & -1\end{bmatrix} = 2\cdot(-1) - 2\cdot 0 = -2.
Substituindo:
\det J = 1\cdot(-1) - 3\cdot(-2) = -1 + 6 = 5.
Portanto o determinante Jacobiano da mudança direta é \displaystyle \det J = 5, conforme indicado no enunciado.]

Passo 4

Encontrando a mudança inversa (isolando u,v,w em função de x,y,z) — resolução passo a passo.
Temos o sistema linear (repetindo):
x = u + 2v,\qquad y = 3u - v + w,\qquad z = 2v - w.
  1. Isolo w a partir da terceira equação:
z = 2v - w \quad\Longrightarrow\quad w = 2v - z.
  1. Substituo w na segunda equação:
y = 3u - v + (2v - z) = 3u + v - z.
Isso dá
3u + v = y + z.
  1. Da primeira equação tenho u = x - 2v. Substituo em 3u + v = y + z:
3(x - 2v) + v = y + z \quad\Longrightarrow\quad 3x - 6v + v = y + z.
3x - 5v = y + z \quad\Longrightarrow\quad -5v = y + z - 3x.
\therefore\quad v = \frac{3x - y - z}{5}.
  1. Agora u = x - 2v:
u = x - 2\cdot\frac{3x - y - z}{5} = \frac{5x - 2(3x - y - z)}{5} = \frac{5x -6x +2y +2z}{5} = \frac{-x + 2y + 2z}{5}.
  1. E w = 2v - z:
w = 2\cdot\frac{3x - y - z}{5} - z = \frac{6x -2y -2z -5z}{5} = \frac{6x -2y -7z}{5}.
Portanto a inversa é:
u = \frac{-x + 2y + 2z}{5},\qquad v = \frac{3x - y - z}{5},\qquad w = \frac{6x -2y -7z}{5}.

Passo 5

Verificando que a matriz Jacobiana da inversa é a inversa da matriz Jacobiana direta.
  1. Calculo as derivadas parciais da inversa (cada componente em função de x,y,z):
u(x,y,z)=\frac{-x + 2y + 2z}{5}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{5},\\ \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{2}{5},\\ \frac{\partial u}{\partial z}=\frac{2}{5}.
v(x,y,z)=\frac{3x - y - z}{5}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{3}{5},\\ \frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{5},\\ \frac{\partial v}{\partial z}=-\frac{1}{5}.
w(x,y,z)=\frac{6x -2y -7z}{5}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial w}{\partial x}=\frac{6}{5},\\ \frac{\partial w}{\partial y}=-\frac{2}{5},\\ \frac{\partial w}{\partial z}=-\frac{7}{5}.
  1. Montando a matriz Jacobiana da inversa K=\dfrac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)} com linhas correspondendo a derivadas em relação a x,y,z:
K = \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial x} \\[4pt] \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial y} \\[4pt] \frac{\partial u}{\partial z} & \frac{\partial v}{\partial z} & \frac{\partial w}{\partial z} \end{bmatrix} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} -1 & 3 & 6\\[4pt] 2 & -1 & -2\\[4pt] 2 & -1 & -7 \end{bmatrix}.
  1. Já tínhamos a matriz Jacobiana direta
J=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}.
  1. Verificação multiplicativa (mostro que J\cdot K = I). Faço o produto da parte inteira (sem o fator 1/5) e encontro:
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 3 & 6\\[4pt] 2 & -1 & -2\\[4pt] 2 & -1 & -7 \end{bmatrix} =5\cdot I_{3},
isto é, o produto resulta na matriz diagonal com 5 na diagonal. Dividindo pelo fator 5 do K obtemos J\cdot K = I_{3}. Portanto K=J^{-1}, ou seja, a matriz Jacobiana da inversa é realmente a matriz inversa da Jacobiana direta. Isso confirma a propriedade pedida.]

Passo 6

Cálculo do determinante Jacobiano para a parte (b) — passo a passo.
Dados:
x = w^{3},\qquad y = u^{2}\cos(v)-2w,\qquad z = u^{2}\sin(v)+w.
  1. Calculo das derivadas parciais em relação a u,v,w.
  • Derivadas em relação a u:
\frac{\partial x}{\partial u}=0,\qquad \frac{\partial y}{\partial u}=2u\cos(v),\qquad \frac{\partial z}{\partial u}=2u\sin(v).
  • Derivadas em relação a v:
\frac{\partial x}{\partial v}=0,\qquad \frac{\partial y}{\partial v}=-u^{2}\sin(v),\qquad \frac{\partial z}{\partial v}=u^{2}\cos(v).
  • Derivadas em relação a w:
\frac{\partial x}{\partial w}=3w^{2},\qquad \frac{\partial y}{\partial w}=-2,\qquad \frac{\partial z}{\partial w}=1.
  1. Montando a matriz Jacobiana J:
J=\begin{bmatrix} 0 & 2u\cos(v) & 2u\sin(v)\\[6pt] 0 & -u^{2}\sin(v) & u^{2}\cos(v)\\[6pt] 3w^{2} & -2 & 1 \end{bmatrix}.
  1. Cálculo do determinante. Como as duas primeiras entradas da primeira coluna são 0, é conveniente expandir pela primeira coluna — só o elemento da terceira linha contribui:
\det J = 3w^{2}\cdot\det\begin{bmatrix} 2u\cos(v) & 2u\sin(v)\\[4pt] - u^{2}\sin(v) & u^{2}\cos(v) \end{bmatrix}.
  1. Calculo do menor 2\times2:
\det\begin{bmatrix} 2u\cos(v) & 2u\sin(v)\\[4pt] - u^{2}\sin(v) & u^{2}\cos(v) \end{bmatrix} = (2u\cos v)(u^{2}\cos v) - (2u\sin v)(-u^{2}\sin v).
= 2u^{3}\cos^{2}v + 2u^{3}\sin^{2}v = 2u^{3}(\cos^{2}v+\sin^{2}v) = 2u^{3}.
  1. Substituindo de volta em \det J:
\det J = 3w^{2}\cdot 2u^{3} = 6u^{3}w^{2}.
Pronto — chegamos à expressão indicada no enunciado.]

Resposta

(a) \det J = 5. Inversa:
u=\frac{-x+2y+2z}{5},\qquad v=\frac{3x-y-z}{5},\qquad w=\frac{6x-2y-7z}{5}.
A matriz Jacobiana da inversa é a inversa da matriz Jacobiana direta (verificação: J\cdot J_{\text{inv}}=I).\n
(b) \det J = 6u^{3}w^{2}.

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