Exercício 3.20 Determine todos os pontos da hipérbole y=\frac{6}{x} em que a reta tangente é paralela à reta 2 x+3 y+1=0.

Passo 1

O enunciado pede todos os pontos da hipérbole \displaystyle y=\frac{6}{x} em que a reta tangente seja paralela à reta
2x+3y+1=0.
O conteúdo envolvido é cálculo de derivada para obter a inclinação da reta tangente e comparação dessa inclinação com a da reta dada.

Passo 2

Para achar a inclinação da reta dada, escrevemos sua forma reduzida. A reta
2x+3y+1=0
é equivalente a
3y=-2x-1\quad\Longrightarrow\quad y=-\tfrac{2}{3}x-\tfrac{1}{3}.
Logo, a inclinação (coeficiente angular) dessa reta é
m_{\text{reta}}=-\tfrac{2}{3}.

Passo 3

Calculamos a derivada de y=\tfrac{6}{x} para obter a inclinação da reta tangente em um ponto genérico x. Usando a regra do quociente ou potência, temos
y'=\frac{d}{dx}\Bigl(6x^{-1}\Bigr)=-6x^{-2}=-\frac{6}{x^2}.

Passo 4

Igualamos a derivada ao coeficiente angular da reta para que as tangentes sejam paralelas:
-\frac{6}{x^2}=-\frac{2}{3}.
Multiplicando ambos os lados por -1 e isolando x^2, obtemos
\frac{6}{x^2}=\frac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad 6=\frac{2}{3}\,x^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2=9 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm 3.

Passo 5

Para cada valor de x encontramos y na hipérbole:
  • Se x=3, então y=\frac{6}{3}=2.
  • Se x=-3, então y=\frac{6}{-3}=-2.

Resposta

Os pontos são (3,2) e (-3,-2).

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