Exercício 3.20 Determine todos os pontos da hipérbole
em que a reta tangente é paralela à reta
.
Passo 1
O enunciado pede todos os pontos da hipérbole
em que a reta tangente seja paralela à reta
O conteúdo envolvido é cálculo de derivada para obter a inclinação da reta tangente e comparação dessa inclinação com a da reta dada.
Passo 2
Para achar a inclinação da reta dada, escrevemos sua forma reduzida. A reta
é equivalente a
Logo, a inclinação (coeficiente angular) dessa reta é
Passo 3
Calculamos a derivada de
para obter a inclinação da reta tangente em um ponto genérico
. Usando a regra do quociente ou potência, temos
Passo 4
Igualamos a derivada ao coeficiente angular da reta para que as tangentes sejam paralelas:
Multiplicando ambos os lados por
e isolando
, obtemos
Passo 5
Para cada valor de
encontramos
na hipérbole:
- Se
, então . - Se
, então .
Resposta
Os pontos são
e
.