Exercício 3.19
Qual a equação da reta normal à curva y=e^{2 x} no ponto cuja abscissa é nula?

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta normal à curva y = e^{2x} no ponto em que a abscissa é zero. Para isso, vamos precisar de:
  1. coordenadas do ponto sobre a curva em x=0,
  2. derivada de y para achar a inclinação da tangente,
  3. inclinação da normal ( -1 sobre a tangente),
  4. forma-ponto da reta para montar a equação.

Passo 2

Em x=0, o valor de y é
y = e^{2\cdot 0} = e^0 = 1,
logo o ponto é (0,1).

Passo 3

A derivada da curva fornece a inclinação da reta tangente:
y' = \frac{d}{dx}e^{2x} = 2e^{2x}.
Em x=0, a inclinação da tangente é
m_{\text{tang}} = y'(0) = 2e^0 = 2.

Passo 4

A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação tangente, ou seja
m_{\text{normal}} = -\frac{1}{m_{\text{tang}}} = -\frac{1}{2}.

Passo 5

Usando a forma ponto-inclinação para a reta normal que passa por (0,1) com inclinação -\tfrac12, temos
y - 1 = -\tfrac12\,(x - 0),
que simplifica para
y = -\tfrac12\,x + 1.

Resposta

A equação da reta normal é
y = -\tfrac{1}{2}\,x + 1.

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