Exercício 20. Dizer se as afirmações seguintes são verdadeiras e escrever suas negações.
\exists \mathrm{x} \in \mathbb{R}, \forall \mathrm{y} \in \mathbb{R}, \mathrm{x}+\mathrm{y}>0

Passo 1

O enunciado pede para verificar a veracidade de
\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, x+y>0
e, em seguida, escrever sua negação. O conteúdo envolve quantificadores existencial e universal e a lógica de negação desses quantificadores.

Passo 2

Interpretamos a afirmação: “existe x\in\mathbb{R} tal que, para todo y\in\mathbb{R}, x+y>0”. Em outras palavras, seria um mesmo número real x que, somado a qualquer real y, dê sempre resultado positivo.

Passo 3

Para testar se isso pode acontecer, suponha que exista tal x. Escolha então
y = -x.
Nesse caso
x + y = x + (-x) = 0,
e 0 não é maior que zero. Isso contradiz a condição “ x+y>0 para todo y”. Logo não existe nenhum x que satisfaça a afirmação, ou seja, a afirmação é falsa.

Passo 4

Agora encontramos a negação da fórmula. Sabemos que
\neg\bigl(\exists x\,\forall y\,P(x,y)\bigr)\;\equiv\;\forall x\,\exists y\,\neg P(x,y),
onde P(x,y) é a proposição “ x+y>0”. A negação de x+y>0 é x+y\le0. Portanto a negação é
\forall x\in\mathbb{R},\;\exists y\in\mathbb{R}\quad x+y\le 0.

Resposta

A afirmação original é falsa.
A negação é
\forall x\in\mathbb{R},\;\exists y\in\mathbb{R}\text{ tal que }x+y\le 0.

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