Exercício 20. Dizer se as afirmações seguintes são verdadeiras e escrever suas negações.
\forall \mathrm{x} \in \mathbb{R}, \forall \mathrm{y} \in \mathbb{R}, \mathrm{x}+\mathrm{y}>0

Passo 1

O enunciado apresenta a seguinte afirmação sobre quantificadores em \mathbb{R}:
\forall x\in\mathbb{R},\;\forall y\in\mathbb{R},\;x+y>0.
Precisamos (1) determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa e (2) escrever sua negação. Para isso usaremos a regra de negação de um quantificador universal:
– A negação de \forall é \exists.
– A negação de uma condição P é \neg P.

Passo 2

Para ver se
\forall x\in\mathbb{R},\;\forall y\in\mathbb{R},\;x+y>0
é verdadeira, basta encontrar um contraexemplo. Por exemplo, tomemos x=-1 e y=-1. Então
x+y = -1 + (-1) = -2 \not> 0.
Logo a afirmação é falsa.

Passo 3

Agora aplicamos a negação ao quantificador duplo e à condição x+y>0:
\neg\Bigl(\forall x\in\mathbb{R},\;\forall y\in\mathbb{R},\;x+y>0\Bigr) = \exists x\in\mathbb{R},\;\exists y\in\mathbb{R}\;\text{tal que}\;\neg(x+y>0).
E a negação de x+y>0 é x+y\le 0. Portanto a negação final é
\exists x\in\mathbb{R},\;\exists y\in\mathbb{R}\;\text{tal que}\;x+y\le 0.

Resposta

A afirmação original é falsa.
A negação é
\exists x\in\mathbb{R},\;\exists y\in\mathbb{R}\;\text{tal que}\;x+y\le 0.

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