Exercício 20 - (FUVEST, 2020) A dona de uma lanchonete observou que, vendendo um combo a \mathrm{R} \ 10,00,200 deles são vendidos por dia, e que, para cada redução deãçã\mathrm{R} $1,00$ nesse preço, ela vende 100 combos a mais. Nessas condições, qual é a máxima arrecadação diária que ela espera obter com a venda desse combo?
a) R \ 2.000,00$
b) R$ 3.200,00
c) R \ 3.600,00$
d) \mathrm{R} \ 4.000,00$
e) R \ 4.800,00$

Passo 1

O enunciado diz que, ao preço de \mathrm{R}\$10{,}00, vendem-se 200 combos, e que para cada redução de \mathrm{R}\$1{,}00 no preço, vendem-se 100 combos a mais. O conteúdo aqui é modelar a receita diária como função do número de reduções e, em seguida, maximizar essa função (é um polinômio do 2º grau).

Passo 2

Seja x o número de reduções de \mathrm{R}\$1{,}00.
Então o novo preço é
p(x) = 10 - x
em reais, e a quantidade vendida é
q(x) = 200 + 100x
combos.

Passo 3

A receita diária R(x) é preço vezes quantidade, ou seja
R(x) = p(x)\,q(x) = (10 - x)\,(200 + 100x).
Expandindo,
R(x) = 2000 + 1000x -200x -100x^2 = 2000 + 800x - 100x^2.

Passo 4

Para maximizar a parábola R(x) = -100x^2 + 800x + 2000, usamos o vértice que ocorre em
x^* = -\frac{b}{2a} = -\frac{800}{2 \cdot (-100)} = 4.
Isso significa reduzir \mathrm{R}\$4{,}00, ficando o preço em \mathrm{R}\$6{,}00.

Passo 5

Calculando a receita máxima:
R(4) = (10 - 4)\bigl(200 + 100\cdot4\bigr) = 6 \times 600 = 3600.

Resposta

\mathrm{R}\$3.600{,}00 (alternativa (c))

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