Calcule o volume do sólido W limitado pelas superficies 4-y \leqslant z \leqslant 9-x^{2}, y=0 e y=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido W limitado pelas superfícies
z = 4 - y,\quad z = 9 - x^2
e pelos planos y=0 e y=4.
O conteúdo é cálculo de volume via integrais iteradas, e precisaremos
  1. projetar a região no plano xy,
  2. determinar os limites de x e y,
  3. montar a integral de \bigl(z_{\mathrm{superior}}-z_{\mathrm{inferior}}\bigr) e
  4. calcular.

Passo 2

Para estar dentro de W, devemos ter
4 - y \;\le\; 9 - x^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 \;\le\; 5 + y.
Como y varia de 0 a 4, a projeção D no plano xy é
D = \bigl\{(x,y)\mid 0\le y\le4,\; -\sqrt{5+y}\,\le x\le \sqrt{5+y}\bigr\}.

Passo 3

O volume é dado por
V \;=\;\iint_{D}\bigl[(9 - x^2)-(4 - y)\bigr]\,dx\,dy \;=\;\int_{y=0}^{4}\!\int_{x=-\sqrt{5+y}}^{\sqrt{5+y}}\!(5 + y - x^2)\,dx\,dy.

Passo 4

Primeiro, integramos em x. Com a=\sqrt{5+y},
\int_{-a}^{a}(5+y-x^2)\,dx =\int_{-a}^{a}(5+y)\,dx \;-\;\int_{-a}^{a}x^2\,dx =2a(5+y)\;-\;\frac{2a^3}{3} =2(5+y)^{3/2}-\frac{2(5+y)^{3/2}}{3} =\frac{4}{3}(5+y)^{3/2}.

Passo 5

Então
V =\int_{0}^{4}\frac{4}{3}(5+y)^{3/2}\,dy =\frac{4}{3}\int_{0}^{4}(5+y)^{3/2}\,dy.
A antiderivada de (5+y)^{3/2} é \tfrac{2}{5}(5+y)^{5/2}, logo

Passo 6

V =\frac{4}{3}\,\cdot\,\frac{2}{5}\,\bigl[(5+y)^{5/2}\bigr]_{0}^{4} =\frac{8}{15}\Bigl[(9)^{5/2}-(5)^{5/2}\Bigr] =\frac{8}{15}\bigl[243-25\sqrt{5}\bigr].

Resposta

V = \frac{8}{15}\bigl(243 - 25\sqrt{5}\bigr).

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