Exercício 34 - (IEZZI; DOLCE; MURAKAMI, 2006) Resolva as equações exponenciais:
\frac{3^{x+2} \cdot 9^{x}}{243^{5 x+1}}=\frac{81^{2 x}}{27^{3-4 x}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
\frac{3^{x+2}\cdot 9^{x}}{243^{5x+1}} \;=\; \frac{81^{2x}}{27^{3-4x}}.
O conteúdo aqui é transformação de potências com a mesma base e uso da propriedade que, se a^A=a^B com a>0 e a\neq1, então A=B. Vamos reescrever todos os termos com base 3.

Passo 2

Reescrevendo o lado esquerdo como potência de base 3:
9^x=(3^2)^x=3^{2x}, \quad 243^{5x+1}=(3^5)^{5x+1}=3^{25x+5}.
Logo,
\frac{3^{x+2}\cdot 9^x}{243^{5x+1}} =\frac{3^{x+2}\cdot3^{2x}}{3^{25x+5}} =\frac{3^{3x+2}}{3^{25x+5}} =3^{(3x+2)-(25x+5)} =3^{-22x-3}.

Passo 3

Reescrevendo o lado direito como potência de base 3:
81^{2x}=(3^4)^{2x}=3^{8x}, \quad 27^{3-4x}=(3^3)^{3-4x}=3^{9-12x}.
Logo,
\frac{81^{2x}}{27^{3-4x}} =\frac{3^{8x}}{3^{9-12x}} =3^{8x-(9-12x)} =3^{20x-9}.

Passo 4

Igualando as duas expressões de base 3:
3^{-22x-3}=3^{20x-9} \quad\Longrightarrow\quad -22x-3=20x-9.
Resolvendo para x:
-22x-20x=-9+3 \quad\Longrightarrow\quad -42x=-6 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1}{7}.

Resposta

\displaystyle x=\frac{1}{7}

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